Esercizio 158area tra una retta e una parabola

Testo (Lezione 44, esercizio 17 del foglio di ricapitolazione). Calcolare l'area di $A$, regione limitata del piano delimitata dalle curve $y = -x + 1$ e $y = x^2$ per $x \in [0, 2]$.

Formula (vedi "Area della regione tra due grafici" in Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →): se $f \le g$ su $[a, b]$, l'area tra i grafici è $\int_a^b [g(x) - f(x)]\,dx$, "quella sopra meno quella sotto".

Chi sta sopra?

Intersezioni: $x^2 = -x + 1 \iff x^2 + x - 1 = 0 \iff x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt5}{2}$. Solo $x_1 = \frac{-1 + \sqrt5}{2} \approx 0{,}618$ sta in $]0, 2[$.

• In $x = 0$: retta $= 1$, parabola $= 0$: sopra la retta su $[0, x_1]$;
• in $x = 2$: retta $= -1$, parabola $= 4$: sopra la parabola su $[x_1, 2]$.

Le due curve si scambiano in $x_1$: si spezza l'area in $A_1$ (su $[0, x_1]$) e $A_2$ (su $[x_1, 2]$).

Calcolo

Una primitiva di $-x + 1 - x^2$ è $G(x) = -\frac{x^2}{2} + x - \frac{x^3}{3}$; quella di $x^2 + x - 1$ è $-G$. $$|A| = \int_0^{x_1}\left[(-x + 1) - x^2\right] dx + \int_{x_1}^2\left[x^2 - (-x + 1)\right] dx = \Big[G(x)\Big]_0^{x_1} - \Big[G(x)\Big]_{x_1}^2$$ $$= 2G(x_1) - G(0) - G(2)$$ Con $G(0) = 0$ e $G(2) = -2 + 2 - \frac83 = -\frac83$, e calcolando $G(x_1)$ (usando $x_1^2 = 1 - x_1$, da cui $x_1^3 = x_1 - x_1^2 = 2x_1 - 1$): $$G(x_1) = -\frac{1 - x_1}{2} + x_1 - \frac{2x_1 - 1}{3} = -\frac16 + \frac56 x_1$$ Quindi $$|A| = 2\left(-\frac16 + \frac56 x_1\right) + \frac83 = \frac73 + \frac53 x_1 = \frac73 + \frac53\cdot\frac{-1 + \sqrt5}{2} = \frac32 + \frac{5\sqrt5}{6} \approx 3{,}363$$ (controllato con Python, anche come $\int_0^2|x^2 + x - 1|\,dx$).

Il trucco $x_1^2 = 1 - x_1$: $x_1$ è radice di $x^2 + x - 1$, quindi le sue potenze si riducono a espressioni di primo grado, ed evita di elevare al cubo $\frac{-1 + \sqrt5}{2}$.

Errori comuni

• Calcolare $\int_0^2[(-x + 1) - x^2]\,dx$ in un colpo solo: dove la parabola sta sopra, il pezzo verrebbe contato con il segno meno.
• Usare $\int_0^2 x^2\,dx$ (area sotto la parabola): la regione è tra le due curve, non tra la curva e l'asse.