Lezione 37Ricapitolazione sulle serie e proprietà dell'integrale

Data: lunedì 1 dicembre 2025 · Videolezione: n. 38 della playlist ("Lezione 37")

Argomenti trattati

1. Esercizi di ricapitolazione sulle serie (foglio 1-3/12): esercizio 1 (parametro $x$, una serie di potenze), esercizio 2 ($\cos(n\pi)$, fattoriali e logaritmi), esercizio 3 (un fattore $3 + \sin n$ senza limite: doppia disuguaglianza e criterio della radice), esercizio 4 (seno iperbolico con argomento che non tende a $0$ per $\alpha < 0$). Cenno alle serie di potenze: $e^x$ e $\sin x$ come somme di serie.
2. Integrale definito, conseguenze del teorema di integrabilità: le funzioni elementari sono integrabili nel loro dominio; esempi $\log x$ e $[x]$; cambiare $f$ in un numero finito di punti non cambia l'integrale.
3. Proprietà: linearità, monotonia, additività (con le convenzioni sugli estremi), disuguaglianza del valore assoluto.
4. Teorema della media integrale, con significato geometrico e dimostrazione.
5. Fine lezione: esercizi 5 e 6 del foglio sulle serie (ordine di infinitesimo, sviluppi di Taylor con un parametro).

Teoria

• Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → — un fattore compreso tra due costanti positive
• Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile → — cenno alle serie di potenze
• Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →

Esercizi

• Esercizio 124 · serie con xⁿ e 9ⁿ al variare di x — esercizio 1 del foglio
• Esercizio 125 · serie con cos(nπ), (n!)² e logaritmi — esercizio 2
• Esercizio 126 · serie con 3 + sin n e il criterio della radice — esercizio 3
• Esercizio 127 · differenza di radici cubiche e seno iperbolico — esercizio 4
• Esercizio 128 · ordine di infinitesimo e serie con potenza di esponente sin²(1/n) — esercizio 5
• Esercizio 129 · serie con Taylor di esponenziale e seno al variare di a — esercizio 6