Esercizio 74limiti con gli sviluppi di Mac-Laurin

Testo (Lezione 26, esercizi 1 e 2 del foglio 12-14/11). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - \cos x - x - x^2}{2^{-1/x} + \sqrt{x + 1} - 1 - \frac12 x}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\alpha\arctan x - x + 4x^3}{2x^{1/x} + \arcsin^3 x}$, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → (paragrafo sugli sviluppi), Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →.

Gli sviluppi che servono

Per $x \to 0$ (dal formulario):

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots + (-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2m+1})$$

$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{6}x^3 + \dots + \binom{\alpha}{n}x^n + o(x^n)$$

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^m\frac{x^{2m+1}}{2m+1} + o(x^{2m+2})$$

dove $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}$ (il coefficiente binomiale generalizzato: $n$ fattori al numeratore che scendono di $1$ alla volta).

1. Il primo limite

Primo tentativo: troppo corto

Con gli sviluppi al primo ordine ($e^x = 1 + x + o(x)$, $\cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2)$):

$$\text{NUM} = 1 + x + o(x) - 1 + \frac12 x^2 + o(x^2) - x - x^2 = o(x)$$

Resta solo un o-piccolo: non basta. Il motivo è che nel numeratore compare $x^2$ "da solo", e gli sviluppi devono andare più in là di quel grado.

Numeratore, sviluppato fino a $o(x^3)$

Regola pratica: si sviluppa fino a un grado sopra la potenza più alta che compare da sola (qui $x^2$, quindi fino a $o(x^3)$):

$$e^x = 1 + x + \frac12 x^2 + \frac16 x^3 + o(x^3), \qquad \cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^3)$$

(per il coseno il termine successivo è $\frac{x^4}{24}$, già dentro $o(x^3)$).

$$\text{NUM} = 1 + x + \frac12 x^2 + \frac16 x^3 - 1 + \frac12 x^2 - x - x^2 + o(x^3)$$

Si raccolgono per grado:

• costanti: $1 - 1 = 0$;
• $x$: $x - x = 0$;
• $x^2$: $\frac12 + \frac12 - 1 = 0$;
• $x^3$: $\frac16$.

$$\text{NUM} = \frac16 x^3 + o(x^3) \sim \frac16 x^3$$

Denominatore

Primo tentativo con $\sqrt{x + 1} = 1 + \frac12 x + o(x)$: $\text{DEN} = 2^{-1/x} + 1 + \frac12 x + o(x) - 1 - \frac12 x = o(x)$, di nuovo solo un o-piccolo. Si sviluppa al secondo ordine con $\alpha = \frac12$:

$$\sqrt{1 + x} = 1 + \frac12 x + \frac{\frac12\left(\frac12 - 1\right)}{2}x^2 + o(x^2) = 1 + \frac12 x - \frac18 x^2 + o(x^2)$$

(il coefficiente è $\frac{\frac12 \cdot (-\frac12)}{2} = -\frac18$). E $2^{-1/x} = o(x^2)$ per la gerarchia degli infinitesimi in $0^+$. Quindi

$$\text{DEN} = 1 + \frac12 x - \frac18 x^2 - 1 - \frac12 x + o(x^2) = -\frac18 x^2 + o(x^2) \sim -\frac18 x^2$$

Conclusione

$$L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac16 x^3}{-\frac18 x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left(-\frac43 x\right) = 0$$

Verifica numerica. $x = 0{,}01$: $\approx -0{,}01340$ (contro $-\frac43 x \approx -0{,}01333$) ✓.

2. Il limite con il parametro $\alpha$

Numeratore

C'è un parametro: non si sa a priori quali termini si cancelleranno, quindi si sviluppa subito l'arcotangente abbastanza in là, fino a $o(x^4)$:

$$\arctan x = x - \frac13 x^3 + o(x^4)$$

$$\text{NUM} = \alpha\left(x - \frac13 x^3 + o(x^4)\right) - x + 4x^3 = (\alpha - 1)x + \left(4 - \frac{\alpha}{3}\right)x^3 + o(x^4)$$

Due casi, secondo che il coefficiente di $x$ si annulli o no:

• $\alpha \ne 1$: $\text{NUM} = (\alpha - 1)x + o(x) \sim (\alpha - 1)x$;
• $\alpha = 1$: il termine in $x$ sparisce, e $4 - \frac13 = \frac{11}{3}$: $\text{NUM} = \frac{11}{3}x^3 + o(x^3) \sim \frac{11}{3}x^3$.

Denominatore

$\arcsin x \sim x$, quindi (potenze) $\arcsin^3 x \sim x^3$, cioè $\arcsin^3 x = x^3 + o(x^3)$. E $x^{1/x} = o(x^3)$ (gerarchia degli infinitesimi in $0^+$):

$$\text{DEN} = x^3 + o(x^3) \sim x^3$$

Conclusione

• $\alpha \ne 1$: $L = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\alpha - 1)x}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\alpha - 1}{x^2}$, che vale $+\infty$ se $\alpha > 1$ e $-\infty$ se $\alpha < 1$;
• $\alpha = 1$: $L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{11}{3}x^3}{x^3} = \frac{11}{3}$.

Verifica numerica. Con $\alpha = 1$: $x = 0{,}1$ dà $\approx 3{,}650$, $x = 0{,}01$ dà $\approx 3{,}6665$; $\frac{11}{3} \approx 3{,}6667$ ✓.

Attenzione: un errore frequente

Sostituire subito $\alpha\arctan x$ con $\alpha x$ (perché $\arctan x \sim x$) dà

$$\frac{\alpha x - x + 4x^3}{x^3} = \frac{(\alpha - 1)x + 4x^3}{x^3}$$

e per $\alpha = 1$ si otterrebbe $4$: sbagliato. Il motivo: scrivere $\arctan x \approx x$ butta via il termine $-\frac13 x^3$, che è dello stesso ordine di $4x^3$ e contribuisce al risultato ($4 - \frac13 = \frac{11}{3}$). In una somma non si sostituisce con un asintotico: si usa lo sviluppo con l'o-piccolo e lo si porta abbastanza avanti.

Errori comuni

• Fermarsi quando resta solo un o-piccolo: bisogna sviluppare un termine in più.
• Sbagliare il coefficiente di $x^2$ in $\sqrt{1 + x}$: è $\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} = -\frac18$, non $\frac14$ né $\frac18$.
• Sostituire con gli asintotici dentro una somma (vedi l'errore frequente del secondo limite).