Esercizio 159primitiva con una condizione e derivata di una funzione integrale

Testo (Lezione 44, esercizi 19 e 20 del foglio di ricapitolazione). 19. Trovare la primitiva $F$ di $f(x) = \dfrac{1}{e^x(e^x + 3)}$ tale che $F(1) = 3$. 20. Trovare la derivata di $F(x) = \displaystyle\int_1^{3x + x^3} t^2\log(2 + t^2)\,dt$. Verificare che $F$ è strettamente crescente e dimostrare che $\lim_{x \to +\infty} F(x) = +\infty$.

Teoria: "La primitiva che vale $y_0$ in $x_0$" e "Derivata di $\int_a^{g(x)} f(t)\,dt$" in Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →.

19.

Idea. La funzione integrale $\int_1^x f(t)\,dt$ è la primitiva che vale $0$ in $1$; aggiungendo $3$ si ottiene quella che vale $3$: $$F(x) = \int_1^x\frac{dt}{e^t(e^t + 3)} + 3$$

Una primitiva. Si moltiplica sopra e sotto per $e^t$ e si sostituisce $y = e^t$, $dy = e^t\,dt$ (vedi Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali →): $$\int\frac{dt}{e^t(e^t + 3)} = \int\frac{e^t\,dt}{e^t\cdot e^t(e^t + 3)} = \int\frac{dy}{y^2(y + 3)}$$ Fratti semplici ($y = 0$ radice doppia, $y = -3$ semplice): $$\frac{1}{y^2(y + 3)} = \frac{A + By}{y^2} + \frac{C}{y + 3} = \frac{(B + C)\,y^2 + (A + 3B)\,y + 3A}{y^2(y + 3)}$$ $$\begin{cases} B + C = 0 \\ A + 3B = 0 \\ 3A = 1 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad A = \frac13,\ B = -\frac19,\ C = \frac19$$ $$\int\frac{dy}{y^2(y + 3)} = \frac19\int\frac{3 - y}{y^2}\,dy + \frac19\int\frac{dy}{y + 3} = \frac19\left[-\frac3y - \log|y| + \log|y + 3|\right] + k$$ (con $\int\frac{3}{y^2}dy = -\frac3y$ e $\int\frac{-y}{y^2}dy = -\log|y|$). Con $y = e^t$ ($\log e^t = t$): $$G(t) = \frac19\left[-\frac{3}{e^t} - t + \log(e^t + 3)\right]$$

La primitiva cercata. $F(x) = G(x) - G(1) + 3$: $$F(x) = \frac19\left[-\frac{3}{e^x} - x + \log(e^x + 3) + \frac3e + 1 - \log(e + 3)\right] + 3$$ Controllo: in $x = 1$ la parentesi si annulla e $F(1) = 3$ ✓ (e $F' = f$, verificato con Python).

20.

Attenzione: $F$ non è una funzione integrale (l'estremo superiore è $3x + x^3$, non $x$). È la composta $F(x) = G(g(x))$ di $$G(y) = \int_1^y f(t)\,dt, \quad f(t) = t^2\log(2 + t^2), \qquad\text{e}\qquad g(x) = 3x + x^3$$

Derivata. Per la regola della catena e il TFCI 2 ($G' = f$, perché $f$ è continua): $$F'(x) = f(g(x))\cdot g'(x) = (3x + x^3)^2\log\left(2 + (3x + x^3)^2\right)\cdot(3 + 3x^2)$$

Strettamente crescente. Ogni fattore è $\ge 0$: il quadrato; il logaritmo di un numero $\ge 2 > 1$, quindi positivo; $3 + 3x^2 > 0$. Il prodotto si annulla solo dove $3x + x^3 = x(3 + x^2) = 0$, cioè solo in $x = 0$. Una funzione con derivata $> 0$ tranne che in un punto isolato è strettamente crescente.

Limite a $+\infty$. Per $t \ge 1$, $f(t) = t^2\log(2 + t^2) \ge 1\cdot\log 3 \ge \log 2 > 0$ ($f$ è crescente per $t \ge 1$). Per $x$ abbastanza grande $3x + x^3 \ge 1$, e per la monotonia dell'integrale $$F(x) = \int_1^{3x + x^3} f(t)\,dt \ge \int_1^{3x + x^3}\log 2\,dt = \log 2\cdot(3x + x^3 - 1) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$$ Per il teorema del confronto, $\lim_{x \to +\infty} F(x) = +\infty$.

Errori comuni

• In 20, scrivere $F'(x) = f(x)$: l'estremo è $g(x)$, quindi $F'(x) = f(g(x))\,g'(x)$.
• In 19, aggiungere $3$ a una primitiva qualsiasi: va aggiunto alla primitiva che vale $0$ in $x_0 = 1$, cioè a $G(x) - G(1)$.