Esercizio 127differenza di radici cubiche e seno iperbolico

Testo (Lezione 37, esercizio 4 del foglio di ricapitolazione). Studiare convergenza assoluta e semplice della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\left(\sqrt[3]{n+4} - \sqrt[3]{n}\right)\sinh\left(\frac{1}{n^\alpha}\right) \qquad \text{per } \alpha \in \mathbb{R}$$

Posto $a_n = F_1 \cdot F_2$ con $F_1 = \sqrt[3]{n+4} - \sqrt[3]n$ e $F_2 = \sinh\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$: $F_1 > 0$ (la radice cubica è crescente e $n + 4 > n$) e $F_2 > 0$ (il seno iperbolico è positivo per argomenti positivi, e $\frac{1}{n^\alpha} > 0$ per ogni $\alpha$). Quindi $a_n > 0$ e la serie è alternata, $\sum (-1)^n a_n$.

Convergenza assoluta

$\sum |(-1)^n a_n| = \sum a_n$: si cerca l'asintotico dei due fattori.

Primo fattore

È una differenza di due quantità asintotiche ($\sqrt[3]{n+4} \sim \sqrt[3]n$): non si possono sostituire (verrebbe $0$). Si raccoglie il termine dominante: $$F_1 = \sqrt[3]{n\left(1 + \frac4n\right)} - \sqrt[3]n = n^{1/3}\left[\left(1 + \frac4n\right)^{1/3} - 1\right]$$ Con $y = \frac4n \to 0$ e lo sviluppo $(1 + y)^\beta = 1 + \beta y + o(y)$ (qui $\beta = \frac13$): $$\left(1 + \frac4n\right)^{1/3} - 1 \sim \frac13 \cdot \frac4n \qquad \Longrightarrow \qquad F_1 \sim n^{1/3} \cdot \frac{4}{3n} = \frac43 \cdot \frac{1}{n^{2/3}}$$

Secondo fattore: attenzione al segno di $\alpha$

$\sinh y \sim y$ vale solo per $y \to 0$, cioè qui solo se $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$, cioè $\alpha > 0$. Tre casi:

• $\alpha > 0$: $\frac{1}{n^\alpha} \to 0$ e $F_2 \sim \frac{1}{n^\alpha}$.
• $\alpha = 0$: $\frac{1}{n^0} = 1$, e $F_2 = \sinh 1$, una costante positiva.
• $\alpha < 0$: $\frac{1}{n^\alpha} = n^{-\alpha} \to +\infty$ (esponente $-\alpha > 0$). Dalla definizione $\sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$, con $t = n^{-\alpha} \to +\infty$ il termine $e^{-t} \to 0$ e $$F_2 = \frac{e^{n^{-\alpha}} - e^{-n^{-\alpha}}}{2} \sim \frac{e^{n^{-\alpha}}}{2}$$

Asintotico di $a_n$ e carattere

• $\alpha > 0$: $a_n \sim \frac43 \cdot \frac{1}{n^{2/3}} \cdot \frac{1}{n^\alpha} = \frac43 \cdot \frac{1}{n^{\alpha + 2/3}}$: armonica generalizzata, converge se e solo se $\alpha + \frac23 > 1$, cioè $\alpha > \frac13$.
• $\alpha = 0$: $a_n \sim \frac43 \sinh 1 \cdot \frac{1}{n^{2/3}}$, esponente $\frac23 < 1$: diverge.
• $\alpha < 0$: $a_n \sim \frac43 \cdot \frac{1}{n^{2/3}} \cdot \frac{e^{n^{-\alpha}}}{2} = \frac23\, e^{n^{-\alpha} - \frac23\log n}$ (scrivendo $\frac{1}{n^{2/3}} = e^{-\frac23\log n}$). L'esponente $n^{-\alpha} - \frac23\log n \to +\infty$ perché una potenza positiva batte il logaritmo (gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →). Quindi $a_n \to +\infty$: diverge, e il termine non tende a $0$.

Converge assolutamente se e solo se $\alpha > \frac13$.

Convergenza semplice

• $\alpha > \frac13$: converge (assoluta $\Rightarrow$ semplice).
• $\alpha < 0$: $a_n \to +\infty$, il termine non tende a $0$: non converge.
• $0 \le \alpha \le \frac13$: si prova il criterio di LeibnizSe $a_n \ge 0$, $a_n \to 0$ e $a_n$ è definitivamente decrescente, allora $\sum (-1)^n a_n$ converge.Serie a termini di segno variabile →.

(1) $a_n \to 0$: per $\alpha > 0$, $a_n \sim \frac43 \cdot \frac{1}{n^{\alpha + 2/3}} \to 0$; per $\alpha = 0$, $a_n \sim \frac43\sinh 1 \cdot \frac{1}{n^{2/3}} \to 0$ ✓.

(2) $a_n$ decrescente? $a_n = F_1 \cdot F_2$ con entrambi i fattori positivi:

• $F_2 = \sinh\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$ è decrescente per $\alpha > 0$ ($\frac{1}{n^\alpha}$ decresce e $\sinh$ è crescente) e costante per $\alpha = 0$;
• basta quindi che $F_1$ sia decrescente (prodotto di due positive decrescenti è decrescente, per lo stesso ragionamento delle crescenti). Si studia $f(x) = (x + 4)^{1/3} - x^{1/3}$: $$f'(x) = \frac13 (x+4)^{-2/3} - \frac13 x^{-2/3} = \frac13\left[\frac{1}{(x+4)^{2/3}} - \frac{1}{x^{2/3}}\right] < 0 \quad \forall x > 0$$ perché $(x + 4)^{2/3} > x^{2/3}$, quindi il primo reciproco è più piccolo del secondo.

$F_1$ è decrescente, quindi $a_n$ è decrescente ✓. Per Leibniz la serie converge per $0 \le \alpha \le \frac13$.

Conclusione

Errori comuni

• Usare $\sinh\frac{1}{n^\alpha} \sim \frac{1}{n^\alpha}$ per ogni $\alpha$: vale solo se l'argomento tende a $0$, cioè $\alpha > 0$.
• Sostituire $\sqrt[3]{n+4}$ con $\sqrt[3]n$ nella differenza: l'asintoticità non passa alle differenze; si raccoglie e si sviluppa.