Esercizio 130integrali per sostituzione con logaritmo, arcotangente e seno

Testo (Lezione 38, esercizi 1, 2, 3 del foglio 3-5 dicembre). Calcolare

$$1. \ \int \frac{\sin(\log x)}{x}\,dx \qquad\qquad 2. \ \int \frac{\arctan^5 x}{1 + x^2}\,dx \qquad\qquad 3. \ \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x + 1}}\,dx$$

In tutti e tre si cerca una funzione "interna" la cui derivata compare come fattore, e si applica la formula di sostituzioneCon y = f(x) e dy = f'(x) dx: l'integrale di g(f(x)) f'(x) dx diventa l'integrale di g(y) dy.Integrazione per sostituzione →.

1. $\int \frac{\sin(\log x)}{x}\,dx$

Riconoscere. Si riscrive $\frac{\sin(\log x)}{x} = \sin(\log x) \cdot \frac1x$. Dentro il seno c'è $\log x$, e $\frac1x$ è proprio la sua derivata.

Sostituzione. $y = \log x$, $dy = \frac1x\,dx$: $$\int \sin(\log x) \cdot \frac1x\,dx = \int \sin y\,dy = -\cos y + k = -\cos(\log x) + k, \quad k \in \mathbb{R}$$ (dominio: $x > 0$, dove è definito $\log x$).

Controllo. $D[-\cos(\log x)] = \sin(\log x) \cdot \frac1x$ ✓.

In generale: $\int \sin(f(x))\,f'(x)\,dx = \int \sin y\,dy = -\cos(f(x)) + k$.

2. $\int \frac{\arctan^5 x}{1 + x^2}\,dx$

Riconoscere. $\frac{\arctan^5 x}{1 + x^2} = (\arctan x)^5 \cdot \frac{1}{1 + x^2}$, e $\frac{1}{1+x^2}$ è la derivata di $\arctan x$.

Sostituzione. $y = \arctan x$, $dy = \frac{1}{1 + x^2}\,dx$: $$\int y^5\,dy = \frac{y^6}{6} + k = \frac16 \arctan^6 x + k, \quad k \in \mathbb{R}$$ (integrale della potenza con $\alpha = 5$).

Controllo. $D\left[\frac16\arctan^6 x\right] = \frac16 \cdot 6\arctan^5 x \cdot \frac{1}{1+x^2}$ ✓.

In generale: $\int f(x)^\alpha\,f'(x)\,dx = \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + k$ per $\alpha \ne -1$.

3. $\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x + 1}}\,dx$

Riconoscere. Sotto radice c'è $\sin^2 x + 1 = (\sin x)^2 + 1$, e al numeratore $\cos x$, la derivata di $\sin x$. La forma $\frac{1}{\sqrt{y^2 + 1}}$ è un integrale immediato (settore seno iperbolico).

Sostituzione. $y = \sin x$, $dy = \cos x\,dx$: $$\int \frac{dy}{\sqrt{y^2 + 1}} = \text{settsinh}\,y + k = \text{settsinh}(\sin x) + k = \log\left(\sin x + \sqrt{\sin^2 x + 1}\right) + k, \quad k \in \mathbb{R}$$ (usando $\text{settsinh}\,y = \log\left(y + \sqrt{y^2+1}\right)$, vedi Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati →). Vale per ogni $x \in \mathbb{R}$, perché $\sin^2 x + 1 \ge 1 > 0$.

In generale: $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)^2 + 1}}\,dx = \text{settsinh}(f(x)) + k = \log\left(f(x) + \sqrt{f(x)^2+1}\right) + k$.

Errori comuni

• Lasciare una $x$ nell'integrale in $y$: dopo la sostituzione deve comparire solo $y$ (tutto $f'(x)\,dx$ diventa $dy$).
• Dimenticare di tornare alla variabile $x$ alla fine di un integrale indefinito.