Esercizio 118convergenza assoluta con arcotangente e seno

Testo (Lezione 35, esercizi 10 e 11 del foglio). Studiare convergenza assoluta e convergenza delle seguenti serie numeriche:

$$10. \ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right) \qquad\qquad 11. \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 + 3n\sin n}$$

Metodo (vedi Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →): si studia prima la serie dei moduli $\sum |a_n|$, che ha termini $\ge 0$ e si può trattare con i criteri per le serie positive. Se converge, la serie data converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

10. $\sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right)$

Serie dei moduli

Sia $a_n = \frac{1}{\sqrt n}\left(\frac\pi2 - \arctan n\right)$. Siccome $\arctan n < \frac\pi2$ per ogni $n$ (l'arcotangente sta sempre sotto il suo asintoto), $a_n > 0$, quindi

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left|(-1)^n a_n\right| = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n$$

Asintotico

Per $n \to +\infty$ la parentesi tende a $\frac\pi2 - \frac\pi2 = 0$: serve sapere quanto velocemente. C'è un limite notevole$\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac\pi2 - \arctan x\right) = 1$. Si vede con de l'Hôpital, oppure perché per $x > 0$ vale $\frac\pi2 - \arctan x = \arctan\frac1x \sim \frac1x$.:

$$\lim_{x \to +\infty} x\left(\frac\pi2 - \arctan x\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac\pi2 - \arctan n \sim \frac1n$$

Quindi

$$a_n \sim \frac{1}{n^{1/2}} \cdot \frac1n = \frac{1}{n^{3/2}}$$

È una serie armonica generalizzata$\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → con $\alpha = \frac32 > 1$: converge. Per il confronto asintotico converge $\sum a_n$.

Conclusione

La serie 10 converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.

11. $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 + 3n\sin n}$

Segno del termine e serie dei moduli

Sia $a_n = \frac{1}{n^2 + 3n\sin n}$. Al denominatore $3n\sin n$ oscilla, ma è piccolo rispetto a $n^2$: $\left|\frac{3n\sin n}{n^2}\right| \le \frac{3n}{n^2} = \frac3n \to 0$, cioè $3n\sin n = o(n^2)$ (per la gerarchia degli infiniti e perché $\sin n$ è limitato). Quindi

$$a_n = \frac{1}{n^2 + o(n^2)} \sim \frac{1}{n^2} > 0$$

In particolare $a_n > 0$ definitivamente, e $\sum |(-1)^{n+1}a_n| = \sum a_n$ (da un certo punto in poi, che è quello che conta).

Carattere

$a_n \sim \frac{1}{n^2}$: armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1$, converge.

Conclusione

La serie 11 converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.

(Nota: per $n$ piccolo il denominatore è positivo comunque? $n^2 + 3n\sin n = n(n + 3\sin n)$, e $n + 3\sin n > 0$ per $n \ge 4$; per $n = 1, 2, 3$ si controlla a mano: $1 + 3\sin 1 \approx 3{,}5$, $2 + 3\sin 2 \approx 4{,}7$, $3 + 3\sin 3 \approx 3{,}4$, tutti positivi. Quindi gli addendi sono tutti definiti.)

Errori comuni

• Applicare il confronto asintotico alla serie con $(-1)^n$: si applica alla serie dei moduli.
• Dimenticare di giustificare $a_n > 0$ prima di togliere il modulo.