Lezione 25Derivata, retta tangente e regole di derivazione

Data: lunedì 10 novembre 2025 · Videolezione: n. 27 della playlist ("Lezione 25", 2h01)

Argomenti trattati

1. Inizio del capitolo 4 (calcolo differenziale): rapporto incrementale e derivata, le due forme (con $x \to x_0$ e con $h \to 0$), notazioni.
2. Significato fisico (velocità istantanea) e geometrico (pendenza della retta tangente, ottenuta come limite delle secanti).
3. Caratterizzazione: $f$ derivabile in $x_0$ se e solo se $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$; derivabile implica continua, non viceversa ($|x|$).
4. Derivate delle funzioni elementari: costanti, $x$, seno e coseno, $a^x$, $\log_a x$.
5. Derivata destra e sinistra; classificazione dei punti di non derivabilità: punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.
6. Teoremi di calcolo: linearità, prodotto (con dimostrazione), quoziente, $D(\tan x)$; derivata della funzione composta (regola della catena, con dimostrazione); $D\sinh$, $D\cosh$, $D\tanh$, $D\log|x|$, $D(f^g)$, $D(x^x)$, $D(x^\alpha)$.

Teoria

• Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →
• Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →

Esercizi

• Esercizio 71 · punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi — gli esempi della lezione
• Esercizio 72 · derivate con la regola della catena e con f^g — esempi della lezione e qualche derivata in più