Esercizio 60studio di log(e^modulo di x) - 1) + 3 modulo di x

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Testo (Lezione 21, esercizio 3 del foglio). Data $f(x) = \log\left(e^{|x|} - 1\right) + 3|x|$ :

(a) dominio, simmetrie, segno di $f$ ;
(b) asintoti, punti di continuità e di prolungamento per continuità;
(c) $f$ è limitata inferiormente o superiormente?

Teoria: Discontinuità e prolungamento per continuità (limiti alla frontiera), Asintoti di una funzione.

(a) Dominio, simmetrie, segno

Dominio

L'argomento del logaritmo deve essere positivo:

$e^{|x|} - 1 > 0 \iff e^{|x|} > 1 = e^0 \iff |x| > 0 \iff x \ne 0$

(l'esponenziale è strettamente crescente, quindi $e^A > e^0 \iff A > 0$ ). Dominio: $X = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Simmetrie

$|-x| = |x|$ , quindi $f(-x) = f(x)$ : $f$ è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$ . Basta studiarla per $x > 0$ e poi ribaltare.

Per $x > 0$ si ha $|x| = x$ :

$f(x) = \log(e^x - 1) + 3x \qquad (x > 0)$

Segno (per $x > 0$ )

$f(x) > 0 \iff \log(e^x - 1) > -3x \iff e^x - 1 > e^{-3x}$

(si applica l'esponenziale, strettamente crescente, ai due membri, e $e^{\log(e^x - 1)} = e^x - 1$ ).

È una disequazione mista: si confrontano i grafici di $y_1 = e^x - 1$ (crescente, vale $0$ in $0$ ) e $y_2 = e^{-3x}$ (decrescente, vale $1$ in $0$ ). Vicino a $0$ sta sopra $y_2$ ; poi $y_1$ cresce e $y_2$ cala, e si incontrano in un solo punto $\bar x > 0$ . Precisamente: $h(x) = e^x - 1 - e^{-3x}$ è strettamente crescente (somma di crescenti), $h(0) = -1 < 0$ e $h(1) = e - 1 - e^{-3} > 0$ , quindi c'è un unico zero $\bar x \in \,]0, 1[$ .

(Con $t = e^x$ l'equazione $t - 1 = t^{-3}$ diventa $t^4 - t^3 - 1 = 0$ ; numericamente $t \approx 1{,}380$ e $\bar x = \log t \approx 0{,}322$ . A lezione basta sapere che esiste.)

Quindi, per $x > 0$ : $f(x) < 0$ per $0 < x < \bar x$ , $f(\bar x) = 0$ , $f(x) > 0$ per $x > \bar x$ . Per simmetria, per $x < 0$ : $f > 0$ per $x < -\bar x$ , $f < 0$ per $-\bar x < x < 0$ .

(b) Limiti alla frontiera, asintoti, continuità

La frontiera del dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è fatta da $-\infty$ , $+\infty$ , $0^-$ , $0^+$ . Per la simmetria si calcolano solo $0^+$ e $+\infty$ .

In $0$

$\lim_{x \to 0^+} \left[\log(e^x - 1) + 3x\right] = \log(0^+) + 0 = -\infty$

( $e^x - 1 \to 0^+$ perché $e^x > 1$ per $x > 0$ ). Per la parità $f(0^-) = f(0^+) = -\infty$ .

$f$ è continua in tutto il dominio (è fatta di funzioni elementari: modulo, esponenziale, logaritmo, composte e sommate).
In $0$ non è prolungabile per continuità (il limite è infinito).
$x = 0$ è asintoto verticale completo.

A $+\infty$

$\lim_{x \to +\infty} \left[\log(e^x - 1) + 3x\right] = +\infty + \infty = +\infty$

Può esserci un asintoto obliquo. Il modo migliore è riscrivere il logaritmo raccogliendo dentro il termine più grande, $e^x$ :

$\log(e^x - 1) = \log\left(e^x(1 - e^{-x})\right) = \log(e^x) + \log(1 - e^{-x}) = x + \log(1 - e^{-x})$

Quindi, per $x > 0$ ,

$f(x) = 4x + \log(1 - e^{-x})$

e il secondo addendo tende a $\log 1 = 0$ . Ora:

$m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + \log(1 - e^{-x})}{x} = 4$ (il logaritmo tende a $0$ , quindi è $o(x)$ );
$q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - 4x\right] = \lim_{x \to +\infty} \log(1 - e^{-x}) = \log 1 = 0$ .

Asintoto obliquo a $+\infty$ : $y = 4x$ .

(Si può arrivare a $m = 4$ anche con l'asintoticità: $e^x - 1 \sim e^x \to +\infty$ , e il logaritmo conserva l'asintoticità, quindi $\log(e^x - 1) \sim \log(e^x) = x$ . Ma per $q$ serve comunque la scrittura esatta.)

A $-\infty$ , per simmetria

Se $f$ è pari e $y = mx + q$ è asintoto obliquo a $+\infty$ , allora $y = -mx + q$ è asintoto obliquo a $-\infty$ (si ribalta la retta rispetto all'asse $y$ ). Asintoto obliquo a $-\infty$ : $y = -4x$ .

Verifica numerica. $f(x) - 4x$ vale $\approx -0{,}0068$ per $x = 5$ , $\approx -4{,}5 \cdot 10^{-5}$ per $x = 10$ : tende a $0$ (da sotto, perché $\log(1 - e^{-x}) < 0$ ) ✓.

Grafico interattivo: f(x) = log(e^|x| − 1) + 3|x|: pari, asintoto verticale x = 0, asintoti obliqui y = ±4x

(c) Limitatezza

Dai limiti: $f(x) \to -\infty$ per $x \to 0$ e $f(x) \to +\infty$ per $x \to \pm\infty$ . Quindi

$\inf_X f = -\infty, \qquad \sup_X f = +\infty$

e $f$ non è né inferiormente né superiormente limitata.

Errori comuni

Dimenticare la parità: dimezza il lavoro, ma bisogna ricordarsi di riportare i risultati a $x < 0$ (con l'asintoto $y = -4x$ , non $y = 4x$ ).
Calcolare $q$ con gli asintotici: $\log(e^x - 1) \sim x$ non basta per $f(x) - 4x$ (sarebbe una differenza); serve $\log(e^x - 1) = x + \log(1 - e^{-x})$ .
Dire che $f$ ha una discontinuità in $0$ : $0$ non sta nel dominio; si dice che non è prolungabile e che c'è un asintoto verticale.

Lezioni in cui compare

Lezione 21 · Discontinuità, prolungamento per continuità e limiti notevoli

Esercizio 60studio di log(emodulo di x) - 1) + 3 modulo di x