Esercizio 57le funzioni periodiche non costanti non hanno limite all'infinito

Testo (Lezione 20, esercizio 10 del foglio delle lezioni 17-20). Dimostrare che per ogni funzione $f$ periodica e non costante non esistono $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Teoria: Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni → (criterio di non esistenza), Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →.

L'idea

Una funzione periodica ripete gli stessi valori in ogni periodo. Se non è costante, prende almeno due valori diversi, e li riprende infinite volte, arbitrariamente lontano. Quindi non può "stabilizzarsi" verso un unico valore: andando verso $+\infty$ si trovano sempre punti in cui vale il primo valore e punti in cui vale il secondo.

Per trasformare l'idea in una dimostrazione si usa il criterio di non esistenza: si costruiscono due successioni che tendono a $+\infty$ lungo le quali $f$ ha limiti diversi.

Dimostrazione

Sia $f: X \to \mathbb{R}$ periodica di periodo $T > 0$: per ogni $x \in X$ anche $x + T \in X$ e $f(x + T) = f(x)$ (e quindi, ripetendo, $f(x + nT) = f(x)$ per ogni $n \in \mathbb{N}$).

$f$ non costante significa che esistono $x_1, x_2 \in X$ con $f(x_1) \ne f(x_2)$.

Limite per $x \to +\infty$

Si definiscono

$$x_n^1 = x_1 + nT, \qquad x_n^2 = x_2 + nT \qquad (n \in \mathbb{N})$$

• Stanno nel dominio (per la periodicità) e tendono a $+\infty$, perché $nT \to +\infty$ ($T > 0$).
• Sono diversi da $x_0 = +\infty$ automaticamente (sono numeri reali).
• Per la periodicità: $$f(x_n^1) = f(x_1 + nT) = f(x_1) \qquad \text{per ogni } n$$ è una successione costante, quindi $\lim_n f(x_n^1) = f(x_1)$. Allo stesso modo $\lim_n f(x_n^2) = f(x_2)$.

Poiché $f(x_1) \ne f(x_2)$, i due limiti sono diversi: per il criterio di non esistenza, $\nexists \lim_{x \to +\infty} f(x)$ ∎.

Limite per $x \to -\infty$

Identico, con $x_n^1 = x_1 - nT$ e $x_n^2 = x_2 - nT$, che tendono a $-\infty$ (per la periodicità anche $x - T$ sta nel dominio e $f(x - T) = f(x)$).

Conseguenze

$$\nexists \lim_{x \to \pm\infty} \sin x, \qquad \nexists \lim_{x \to \pm\infty} \cos x, \qquad \nexists \lim_{x \to \pm\infty} \tan x$$

Per $\sin x$, per esempio, si possono prendere $x_1 = 0$ ($\sin 0 = 0$) e $x_2 = \frac{\pi}{2}$ ($\sin\frac{\pi}{2} = 1$), con $T = 2\pi$.

Perché serve "non costante". Una funzione costante $f(x) = c$ è periodica (di qualunque periodo) e ha limite $c$ a $\pm\infty$.

Errori comuni

• Dire "oscilla, quindi non ha limite" senza dimostrarlo: serve il criterio con due successioni.
• Scegliere successioni che non tendono a $+\infty$: il criterio richiede $x_n \to x_0$.