Esercizio 46dominio e segno di (1 - (x+1)^x2-1))^(-π/4) - 1

Testo (Lezione 17, esercizio 3 del foglio vecchio sulle funzioni). Determinare dominio e segno di

$$f(x) = \left(1 - (x + 1)^{x^2 - 1}\right)^{-\pi/4} - 1$$

Passo 0: riconoscere i "pezzi" della funzione

Ci sono due potenze, entrambe delicate:

• dentro: $(x + 1)^{x^2 - 1}$ ha la $x$ sia nella base sia nell'esponente. Non è né una potenza $x^\alpha$ (esponente fisso) né un esponenziale $a^x$ (base fissa);
• fuori: $X^{-\pi/4}$, una potenza con esponente irrazionale e negativo ($-\frac{\pi}{4} \approx -0{,}785$).

Prima di tutto si riscrive ciascun pezzo in una forma di cui si conoscono dominio e grafico.

Passo 1: la forma esponenziale della potenza interna

Per ogni numero $A > 0$ vale $A = e^{\log A}$ ($\log$ ed $e^x$ sono una l'inversa dell'altra). Applicandolo ad $A = f(x)^{g(x)}$ e usando la proprietà $\log(A^b) = b\log A$:

$$f(x)^{g(x)} = e^{\log\left(f(x)^{g(x)}\right)} = e^{g(x)\log f(x)}$$

Questa è la definizione di una potenza con base ed esponente variabili, ed ha senso solo se la base è positiva, $f(x) > 0$ (altrimenti il logaritmo non esiste). Qui:

$$(x + 1)^{x^2 - 1} = e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)} \qquad \text{con } x + 1 > 0$$

e la funzione diventa

$$f(x) = \left(1 - e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)}\right)^{-\pi/4} - 1$$

Passo 2: la potenza esterna $X^{-\pi/4}$

Si chiama $X = 1 - e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)}$, così $f = X^{-\pi/4} - 1$. Per le potenze con esponente irrazionaleSi definiscono solo per base maggiore o uguale a 0; con esponente negativo serve base strettamente positiva, perché la potenza è 1 diviso la base elevata al positivo.Funzioni potenza →, con $\alpha = -\frac{\pi}{4} < 0$:

• il dominio è $X > 0$ (esponente negativo: $X^{-\pi/4} = \frac{1}{X^{\pi/4}}$, quindi $X = 0$ è escluso);
• $X^{-\pi/4} > 0$ per ogni $X > 0$;
• è strettamente decrescente (come $\frac1X$): grande vicino a $0$, tende a $0$ per $X \to +\infty$, e vale $1$ in $X = 1$.

Passo 3: il dominio

Le condizioni sono due: base del logaritmo positiva (passo 1) e base della potenza esterna positiva (passo 2):

$$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 1 - e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1 \\ e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)} < 1 \end{cases}$$

La seconda disequazione

Si scrive $1 = e^0$. Poiché l'esponenziale di base $e > 1$ è strettamente crescente, tra due potenze di $e$ vale lo stesso ordine che tra gli esponenti ($e^a < e^b \iff a < b$):

$$e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)} < e^0 \iff (x^2 - 1)\log(x + 1) < 0$$

È il segno di un prodotto $F_1 \cdot F_2$ con $F_1 = x^2 - 1$ e $F_2 = \log(x + 1)$. Si studia il segno di ciascun fattore:

• $F_1 = x^2 - 1 > 0 \iff x < -1 \ \lor\ x > 1$ (parabola rivolta verso l'alto con zeri $\pm 1$);
• $F_2 = \log(x + 1) > 0 \iff x + 1 > 1 \iff x > 0$ (il logaritmo è positivo quando l'argomento supera $1$).

Tabella dei segni, solo per $x > -1$ (gli altri $x$ sono già esclusi):

Il prodotto è strettamente negativo solo per $0 < x < 1$ (in $x = 0$ e $x = 1$ vale $0$, e serve $< 0$).

Conclusione

$$\mathrm{dom} f = \,]0, 1[$$

Passo 4: il segno

Si vuole $f(x) \ge 0$, cioè

$$\left(1 - e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)}\right)^{-\pi/4} \ge 1$$

Si scrive $1 = 1^{-\pi/4}$. La funzione $X \mapsto X^{-\pi/4}$ è strettamente decrescente, quindi rovescia le disuguaglianze: $A^{-\pi/4} \ge B^{-\pi/4} \iff A \le B$. (La prof lo dice in un altro modo equivalente: si applica a entrambi i membri l'inversa $Y \mapsto Y^{-4/\pi}$, anch'essa strettamente decrescente, e $1^{-4/\pi} = 1$.) Quindi

$$X^{-\pi/4} \ge 1^{-\pi/4} \iff X \le 1 \iff 1 - e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)} \le 1 \iff e^{(x^2 - 1)\log(x + 1)} \ge 0$$

e questo è sempre vero: un'esponenziale è sempre positiva. Anzi, è sempre $> 0$, quindi la disuguaglianza è stretta in tutta la catena:

$$f(x) > 0 \qquad \forall x \in \,]0, 1[$$

La funzione non si annulla mai.

Verifica numerica. $f(0{,}1) \approx 5{,}62$, $f(0{,}5) \approx 1{,}86$, $f(0{,}9) \approx 4{,}47$: tutti positivi ✓. Vicino agli estremi $0$ e $1$ l'esponente $(x^2 - 1)\log(x + 1)$ tende a $0$, quindi $X \to 0^+$ e $f$ diventa molto grande.

Il metodo da ricordare

• Una potenza $f(x)^{g(x)}$ con la $x$ sia in base sia in esponente si scrive sempre come $e^{g(x)\log f(x)}$: dà subito la condizione $f(x) > 0$ e trasforma tutto in esponenziali e logaritmi.
• Per una disequazione del tipo $h(A) \ge h(B)$ con $h$ strettamente monotona: se $h$ è crescente si passa ad $A \ge B$, se è decrescente ad $A \le B$.

Errori comuni

• Dimenticare la condizione $x + 1 > 0$: senza la forma esponenziale non si vede.
• Non cambiare il verso quando si "toglie" la potenza $-\frac{\pi}{4}$: la potenza con esponente negativo è decrescente.
• Includere $x = 0$ o $x = 1$ nel dominio: lì $X = 1 - e^0 = 0$, e $0^{-\pi/4}$ non esiste.