Esercizio 140fratti semplici con denominatore di grado 3

Testo (Lezione 40, esercizio 18). Calcolare

$$18.1 \ \int\frac{dx}{x^3 - 3x^2 + x - 3} \qquad\qquad 18.2 \ \int\frac{dx}{(x - 2)^2(x + 1)}$$

Il denominatore ha grado $3 > 2$: si scompone in fattori e si usano i fratti semplici (vedi "Denominatore di grado $n > 2$" in Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali →). Servono tante costanti quanto è il grado del denominatore, cioè $3$.

18.1

Scomporre il denominatore. Raccoglimento parziale: $$x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + 1\cdot(x - 3) = (x - 3)(x^2 + 1)$$ $x = 3$ è una radice reale semplice; $x^2 + 1$ ha $\Delta < 0$ (non si scompone).

Fratti semplici. Al fattore di primo grado corrisponde una costante, a quello di secondo grado con $\Delta < 0$ un numeratore di primo grado: $$\frac{1}{(x - 3)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} = \frac{A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 1)} = \frac{(A + B)\,x^2 + (C - 3B)\,x + (A - 3C)}{(x - 3)(x^2 + 1)}$$ Per il principio di identità dei polinomi, il numeratore deve essere $1 = 0x^2 + 0x + 1$: $$\begin{cases} A + B = 0 \\ C - 3B = 0 \\ A - 3C = 1 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad B = -A, \quad C = 3B = -3A, \quad A + 9A = 1$$ quindi $A = \frac{1}{10}$, $B = -\frac{1}{10}$, $C = -\frac{3}{10}$.

Integrale. $$I = \frac{1}{10}\int\frac{dx}{x - 3} - \frac{1}{10}\int\frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx$$ Il secondo si spezza ($D(x^2 + 1) = 2x$): $\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac12\log(x^2 + 1)$ e $\int\frac{3}{x^2 + 1}\,dx = 3\arctan x$. Quindi $$I = \frac{1}{10}\log|x - 3| - \frac{1}{20}\log(x^2 + 1) - \frac{3}{10}\arctan x + k$$ Volendo, con le proprietà dei logaritmi ($\frac12\log(x^2 + 1) = \log\sqrt{x^2 + 1}$): $$I = \frac{1}{10}\log\frac{|x - 3|}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{3}{10}\arctan x + k$$

18.2

Il denominatore è già scomposto: $x_1 = 2$ radice di molteplicità $2$, $x_2 = -1$ semplice.

Fratti semplici. Al fattore $(x - 2)^2$ corrisponde un numeratore di grado $2 - 1 = 1$, al fattore $x + 1$ una costante: $$\frac{1}{(x - 2)^2(x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{(x - 2)^2} = \frac{A(x^2 - 4x + 4) + (Bx + C)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)^2}$$ Il numeratore è $(A + B)\,x^2 + (B + C - 4A)\,x + (4A + C)$, e deve valere $1$: $$\begin{cases} A + B = 0 \\ B + C - 4A = 0 \\ 4A + C = 1 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad B = -A, \quad C = 5A, \quad 4A + 5A = 1$$ quindi $A = \frac19$, $B = -\frac19$, $C = \frac59$.

Controllo rapido: in $x = -1$ il numeratore $A(x - 2)^2 + (Bx + C)(x + 1)$ vale $9A = 1$ ✓.

Integrale. $$I = \frac19\left[\int\frac{dx}{x + 1} - \int\frac{x - 5}{(x - 2)^2}\,dx\right]$$ Nel secondo il denominatore è un quadrato: $y = x - 2$, $x = y + 2$, $dy = dx$: $$\int\frac{x - 5}{(x - 2)^2}\,dx = \int\frac{y - 3}{y^2}\,dy = \int\frac{dy}{y} - 3\int y^{-2}\,dy = \log|y| + \frac3y = \log|x - 2| + \frac{3}{x - 2}$$ Quindi $$I = \frac19\left[\log|x + 1| - \log|x - 2| - \frac{3}{x - 2}\right] + k$$

(Entrambi i risultati verificati derivando con Python.)

Errori comuni

• Mettere solo una costante sopra $(x - 2)^2$: con una radice doppia serve un numeratore di grado $1$ (oppure, in modo equivalente, due termini $\frac{B_1}{x - 2} + \frac{B_2}{(x - 2)^2}$).
• Mettere una costante sopra $x^2 + 1$: con un fattore di secondo grado irriducibile serve $Bx + C$.