Esercizio 148un integrale improprio su un intervallo illimitato

Testo (Lezione 41, esempio). Calcolare l'integrale

$$\int_1^{+\infty}\frac{\arctan x}{(1 + x^2)\sqrt{\arctan^2 x + 1}}\,dx$$

È un integrale improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → su un intervallo illimitato: per definizione $$I = \lim_{x \to +\infty}\int_1^x f(t)\,dt, \qquad f(t) = \frac{\arctan t}{(1 + t^2)\sqrt{\arctan^2 t + 1}}$$ Si procede in tre passi.

Passo 1: integrale indefinito

Compare $\frac{1}{1 + x^2} = D(\arctan x)$: si pone $y = \arctan x$, $dy = \frac{dx}{1 + x^2}$: $$\int\frac{\arctan x}{(1 + x^2)\sqrt{\arctan^2 x + 1}}\,dx = \int\frac{y\,dy}{\sqrt{y^2 + 1}}$$ Ora $2y$ è la derivata di $y^2 + 1$: moltiplicando e dividendo per $2$ e ponendo $z = y^2 + 1$, $dz = 2y\,dy$: $$= \frac12\int\frac{2y\,dy}{\sqrt{y^2 + 1}} = \frac12\int z^{-1/2}\,dz = \frac12\cdot\frac{z^{1/2}}{1/2} + k = \sqrt z + k = \sqrt{\arctan^2 x + 1} + k$$ Una primitiva è $G(x) = \sqrt{\arctan^2 x + 1}$.

Passo 2: integrale definito su $[1, x]$

Per il TFCI 1, con $\arctan 1 = \frac\pi4$: $$I_x = \int_1^x f(t)\,dt = \Big[\sqrt{\arctan^2 t + 1}\Big]_{t=1}^{t=x} = \sqrt{\arctan^2 x + 1} - \sqrt{\frac{\pi^2}{16} + 1}$$

Passo 3: limite

Per $x \to +\infty$, $\arctan x \to \frac\pi2$, quindi $\arctan^2 x \to \frac{\pi^2}{4}$: $$I = \lim_{x \to +\infty} I_x = \sqrt{\frac{\pi^2}{4} + 1} - \sqrt{\frac{\pi^2}{16} + 1} \approx 0{,}5905$$ Il limite è finito: l'integrale converge (valore controllato con un'integrazione numerica in Python).

L'errore frequente

Fare direttamente il limite della primitiva, saltando il passo 2: $$\lim_{x \to +\infty}\sqrt{\arctan^2 x + 1} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4} + 1} \qquad \text{SBAGLIATO}$$ Manca il valore della primitiva nell'estremo iniziale $1$: l'integrale è $\lim_x\int_1^x f$, e partire da $1$ invece che da un altro punto cambia il risultato.