Esercizio 124serie con xⁿ e 9ⁿ al variare di x

Testo (Lezione 37, esercizio 1 del foglio di ricapitolazione sulle serie). Studiare convergenza assoluta e convergenza semplice della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{3^{2n}(\sqrt[3]{n} + 4)} \qquad \text{per } x \in \mathbb{R}$$

Passo 0: riscrittura e segno

$3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$, quindi l'addendo è $$a_n = \frac{x^n}{9^n(n^{1/3} + 4)}$$ Per $x < 0$ il fattore $x^n$ cambia segno a ogni passo: $a_n$ non è né definitivamente $\ge 0$ né definitivamente $\le 0$ per ogni $x$. Si parte dalla convergenza assoluta (schema di Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →).

Convergenza assoluta

$$\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|x|^n}{9^n(n^{1/3} + 4)}$$

Asintotico. Nel denominatore $4 = o(n^{1/3})$ (una costante è trascurabile rispetto a una quantità che tende a $+\infty$), quindi $n^{1/3} + 4 \sim n^{1/3}$ e $$|a_n| \sim \frac{|x|^n}{n^{1/3}\, 9^n} = b_n \qquad (\ast)$$

$x = 0$: tutti gli addendi sono nulli, la serie converge (a $0$).

$x \ne 0$: criterio del rapporto su $b_n$ (c'è una potenza $n$-esima): $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)^{1/3}\, 9^{n+1}} \cdot \frac{n^{1/3}\, 9^n}{|x|^n} = \frac{|x|}{9} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{1/3} \longrightarrow \frac{|x|}{9}$$

• $\frac{|x|}{9} < 1 \iff |x| < 9 \iff -9 < x < 9$: converge.
• $\frac{|x|}{9} > 1 \iff x < -9$ oppure $x > 9$: diverge, e $b_n \to +\infty$ (criterio del rapporto per le successioniSe $b_{n+1}/b_n \to L > 1$ allora $b_n \to +\infty$.Criteri del rapporto e della radice per successioni →).
• $|x| = 9$: il rapporto dà $L = 1$ e non decide. Si sostituisce in $(\ast)$: $|a_n| \sim \frac{9^n}{n^{1/3}\, 9^n} = \frac{1}{n^{1/3}}$, armonica generalizzata con esponente $\frac13 < 1$: diverge.

La serie converge assolutamente se e solo se $-9 < x < 9$.

Convergenza semplice

• $-9 < x < 9$: converge assolutamente, quindi converge.
• $x < -9$ oppure $x > 9$: $|a_n| \sim b_n \to +\infty$, quindi $a_n \not\to 0$: per la condizione necessariaSe una serie converge, i suoi addendi tendono a 0.Serie numeriche → non converge.
• $|x| = 9$: $|a_n| \sim \frac{1}{n^{1/3}} \to 0$, quindi $a_n \to 0$: la serie potrebbe convergere. Si sostituiscono i due valori.

$x = -9$: $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-9)^n}{9^n(n^{1/3} + 4)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n\, \cancel{9^n}}{\cancel{9^n}(n^{1/3} + 4)} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n^{1/3} + 4}$$ È alternata con $a_n = \frac{1}{n^{1/3} + 4} > 0$; $a_n \to 0$ e $a_n$ è decrescente (il denominatore $n^{1/3} + 4$ cresce). Per il criterio di LeibnizSe $a_n \ge 0$, $a_n \to 0$ e $a_n$ è definitivamente decrescente, allora $\sum (-1)^n a_n$ converge.Serie a termini di segno variabile → converge.

$x = 9$: $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{9^n}{9^n(n^{1/3} + 4)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{1/3} + 4}$$ A termini positivi: convergenza semplice e assoluta coincidono, e la serie dei moduli diverge. Diverge a $+\infty$.

Conclusione

La serie converge semplicemente se e solo se $-9 \le x < 9$.

Osservazione. È una serie di potenze: $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{9^n(\sqrt[3]n + 4)}$ è una funzione definita esattamente su $[-9, 9[$ (vedi "Cenno: le serie di potenze" in Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →).

Errori comuni

• Dimenticare i due estremi $x = \pm 9$, dove il rapporto vale $1$: hanno comportamenti diversi.
• Applicare Leibniz senza il segno: a $x = 9$ la serie non è alternata.