Esercizio 128ordine di infinitesimo e serie con potenza di esponente sin²(1/n)

Testo (Lezione 37, esercizio 5 del foglio di ricapitolazione). (a) Determinare l'ordine di infinito/infinitesimo della successione $$a_n = n^\alpha\left[\left(1 + \frac1n + \frac{1}{2n^2}\right)^{\sin^2\left(\frac1n\right)} - 1\right] \qquad \text{per } \alpha \in \mathbb{R}.$$ (b) Discutere il carattere della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ per $\alpha \in \mathbb{R}$.

(a) Ordine

Forma esponenziale. C'è una potenza con base ed esponente variabili: si scrive $A^B = e^{B\log A}$. $$a_n = n^\alpha\left[e^{y_n} - 1\right], \qquad y_n = \sin^2\left(\frac1n\right)\cdot\log\left(1 + \frac1n + \frac{1}{2n^2}\right)$$

Asintotico di $y_n$. È un prodotto, quindi basta l'asintoticità di ciascun fattore (non servono sviluppi più lunghi):

• $\frac1n \to 0$ e $\sin t \sim t$, quindi $\sin^2\frac1n \sim \frac{1}{n^2}$;
• $t = \frac1n + \frac{1}{2n^2} \to 0$ e $\log(1 + t) \sim t$, quindi $\log\left(1 + \frac1n + \frac{1}{2n^2}\right) \sim \frac1n + \frac{1}{2n^2} \sim \frac1n$ (il termine $\frac{1}{2n^2}$ è $o\left(\frac1n\right)$).

$$y_n \sim \frac{1}{n^2} \cdot \frac1n = \frac{1}{n^3} \to 0$$

Asintotico di $a_n$. Siccome $y_n \to 0$, $e^{y_n} - 1 \sim y_n \sim \frac{1}{n^3}$, e $$a_n \sim n^\alpha \cdot \frac{1}{n^3} = n^{\alpha - 3}$$ In particolare $a_n > 0$ (definitivamente).

(b) La serie

$a_n > 0$ definitivamente: si usano i criteri per le serie a termini positivi.

• $\alpha \ge 3$: $a_n \to +\infty$ oppure $a_n \to 1$; in ogni caso $a_n \not\to 0$, e per la condizione necessariaSe una serie converge, i suoi addendi tendono a 0.Serie numeriche → la serie (a termini positivi) diverge a $+\infty$.
• $\alpha < 3$: $a_n \sim \frac{1}{n^{3 - \alpha}}$; per il confronto asintoticoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → con l'armonica generalizzata la serie converge se e solo se $3 - \alpha > 1$, cioè $\alpha < 2$.

Conclusione: la serie converge se e solo se $\alpha < 2$; per $\alpha \ge 2$ diverge a $+\infty$.

(Attenzione: per $2 \le \alpha < 3$ gli addendi tendono a $0$, ma non abbastanza velocemente: la serie diverge lo stesso, come $\sum \frac1n$.)

Errori comuni

• Sviluppare con Taylor a ordini alti quando c'è solo un prodotto: basta l'asintoticità dei fattori.
• Confondere l'ordine di infinitesimo con la convergenza della serie: $a_n$ infinitesimo (per $\alpha < 3$) non basta, serve ordine $> 1$.