Esercizio 117serie con esponenziali al variare di a

Testo (Lezione 35, esercizio 9 del foglio). Discutere il carattere della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^n + 3e^n}{n^3\,2^{3n} + 7^n} \qquad \text{per } a > 0$$

Passo 1: segno e riscrittura

$a_n > 0$ per ogni $n \ge 1$ (somme di termini positivi, perché $a > 0$). Si nota che $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$:

$$a_n = \frac{a^n + 3e^n}{n^3 \cdot 8^n + 7^n}$$

Si usa il confronto asintoticoSe $a_n \sim b_n$ (con termini positivi), le due serie hanno lo stesso carattere.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →: si cerca chi domina sopra e sotto.

Passo 2: denominatore

Tra $n^3 \cdot 8^n$ e $7^n$ domina il primo: $\frac{7^n}{n^3\,8^n} = \frac{1}{n^3}\left(\frac78\right)^n \to 0$. Quindi

$$\text{DEN} = n^3\,8^n + o(n^3\,8^n) \sim n^3\,8^n$$

Passo 3: numeratore

Tra due esponenziali domina quella con base maggiore. Il confronto è tra $a$ ed $e$:

Passo 4: il carattere caso per caso

$0 < a < e$: $$a_n \sim \frac{3e^n}{n^3\,8^n} = \frac{3}{n^3}\left(\frac e8\right)^n \le 3\left(\frac e8\right)^n$$ (perché $\frac{1}{n^3} \le 1$). È più piccola di una serie geometrica$\sum q^n$ converge se e solo se $\lvert q \rvert < 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $\frac e8 \approx 0{,}34 < 1$, che converge: converge.

$a = e$: $a_n \sim \frac{4}{n^3}\left(\frac e8\right)^n \le 4\left(\frac e8\right)^n$: converge (stesso motivo).

$a > e$: $$a_n \sim \frac{a^n}{n^3\,8^n} = \frac{1}{n^3}\left(\frac a8\right)^n$$ Ora conta il confronto tra $a$ e $8$:

• $e < a < 8$: $\frac a8 < 1$ e $a_n \lesssim \left(\frac a8\right)^n$, geometrica convergente: converge.
• $a = 8$: $a_n \sim \frac{1}{n^3}$, armonica generalizzata con $\alpha = 3 > 1$: converge.
• $a > 8$: $\frac a8 > 1$ e $\frac{(a/8)^n}{n^3} \to +\infty$ (l'esponenziale con base $> 1$ batte la potenza): gli addendi non tendono a $0$, e per la condizione necessaria la serie diverge a $+\infty$.

Conclusione

$$\text{la serie converge per } 0 < a \le 8 \text{ e diverge a } +\infty \text{ per } a > 8.$$

Altro metodo: criterio del rapporto sull'asintotico

Detto $b_n$ l'asintotico trovato ($a_n \sim b_n$), si applica il criterio del rapportoPer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie → a $b_n$ (le due serie hanno lo stesso carattere).

• $0 < a < e$, $b_n = \frac{3e^n}{n^3\,8^n}$: $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3e^{n+1}}{(n+1)^3\,8^{n+1}} \cdot \frac{n^3\,8^n}{3e^n} = \frac{e}{8} \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} \to \frac e8 < 1: \text{ converge.}$$
• $a = e$: stesso conto, $L = \frac e8 < 1$: converge.
• $a > e$, $b_n = \frac{a^n}{n^3\,8^n}$: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac a8 \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} \to \frac a8$. Converge se $a < 8$, diverge se $a > 8$ (in quel caso, per il criterio del rapporto per le successioniSe $b_n > 0$ e $b_{n+1}/b_n \to L > 1$, allora $b_n \to +\infty$; se $L < 1$, $b_n \to 0$.Criteri del rapporto e della radice per successioni →, $b_n \to +\infty$, e quindi anche $a_n \to +\infty$).
• $a = 8$: $L = 1$, il rapporto non decide; ma $b_n = \frac{1}{n^3}$ e la serie converge.

Errori comuni

• Non accorgersi che $2^{3n} = 8^n$: il confronto decisivo è tra $a$ e $8$.
• Dimenticare il caso $a = 8$, dove il rapporto dà $L = 1$.