Esercizio 119convergenza assoluta e semplice al variare di a

Testo (Lezione 35, esercizio 12 del foglio). Studiare convergenza assoluta e convergenza della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{a^{n^2}}{n! + 3n^2\sin n + 4n^2 + 1} \qquad \text{per } a > 0$$

Passo 1: asintotico e segno di $a_n$

Sia $a_n = \frac{a^{n^2}}{n! + 3n^2\sin n + 4n^2 + 1}$. Al denominatore domina il fattoriale: $3n^2\sin n$, $4n^2$ e $1$ sono al massimo dell'ordine di $n^2$, e per la gerarchia degli infinitiPer $n \to +\infty$ il fattoriale cresce più di qualunque potenza e di qualunque esponenziale: $n^2 / n! \to 0$.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → $n^2 = o(n!)$. Quindi

$$a_n \sim \frac{a^{n^2}}{n!} = b_n > 0$$

e $a_n > 0$ definitivamente. Allora $\sum |(-1)^{n+1}a_n|$ converge se e solo se converge $\sum a_n$, cioè (confronto asintotico) se e solo se converge $\sum b_n$.

Passo 2: criterio del rapporto su $b_n$

Ci sono una potenza con esponente $n^2$ e un fattoriale: il criterio del rapportoPer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie → è la scelta naturale.

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a^{(n+1)^2}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{a^{n^2}}$$

Si sviluppa l'esponente, $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, quindi $a^{(n+1)^2} = a^{n^2} \cdot a^{2n} \cdot a$; e $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\cancel{a^{n^2}} \cdot a^{2n} \cdot a \cdot \cancel{n!}}{(n+1) \cdot \cancel{n!} \cdot \cancel{a^{n^2}}} = a \cdot \frac{(a^2)^n}{n+1}$$

Il limite dipende da $a^2$ (cioè da $a$, che è positivo):

• $0 < a < 1$: $(a^2)^n \to 0$ e $\frac{1}{n+1} \to 0$: $L = 0$.
• $a = 1$: $\frac{1}{n+1} \to 0$: $L = 0$.
• $a > 1$: $a^2 > 1$, e $\frac{(a^2)^n}{n+1} \to +\infty$ (esponenziale contro potenza): $L = +\infty$.

Quindi $L < 1$ per $0 < a \le 1$ (la serie dei moduli converge) e $L > 1$ per $a > 1$ (diverge, e anzi $b_n \to +\infty$ per il criterio del rapporto per le successioniSe $b_n > 0$ e $b_{n+1}/b_n \to L > 1$, allora $b_n \to +\infty$; se $L < 1$, $b_n \to 0$.Criteri del rapporto e della radice per successioni →).

Passo 3: conclusioni

Convergenza assoluta: per $0 < a \le 1$ (e non per $a > 1$).

Convergenza semplice:

• per $0 < a \le 1$ la serie converge, perché la convergenza assoluta implica quella semplice;
• per $a > 1$: $b_n \to +\infty$ e $a_n \sim b_n$, quindi $a_n \to +\infty$, e in particolare $|(-1)^{n+1}a_n| = a_n \not\to 0$. Poiché $\lim_n c_n = 0 \iff \lim_n |c_n| = 0$, anche il termine $(-1)^{n+1}a_n$ non tende a $0$: per la condizione necessariaSe una serie converge, i suoi addendi tendono a 0.Serie numeriche → la serie non converge (nemmeno semplicemente).

Errori comuni

• Concludere "non converge" solo perché non converge assolutamente: in generale non basta; qui funziona perché il termine generale non va a zero.
• Sbagliare $(n+1)^2$: è $n^2 + 2n + 1$, non $n^2 + 1$.