Esercizio 135cos⁴ x sin² x e sin⁴ x cos³ x

Testo (Lezione 39, esercizi lasciati per casa, risolti in fondo al PDF). Calcolare

$$\int \cos^4 x\,\sin^2 x\,dx, \qquad \int \sin^4 x\,\cos^3 x\,dx$$

Metodo: Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →.

(a) $\int \cos^4 x\,\sin^2 x\,dx$: esponenti entrambi pari

Si usano le formule di bisezione, con $c = \cos 2x$ per brevità: $\cos^2 x = \frac{1 + c}{2}$, $\sin^2 x = \frac{1 - c}{2}$. $$\cos^4 x\,\sin^2 x = \left(\frac{1 + c}{2}\right)^2\cdot\frac{1 - c}{2} = \frac18(1 + c)\underbrace{(1 + c)(1 - c)}_{1 - c^2} = \frac18(1 + c)(1 - c^2) = \frac18\left(1 + c - c^2 - c^3\right)$$ (si è usato $(1 + c)(1 - c) = 1 - c^2$ per non moltiplicare tutto a mano). Quindi $$\int \cos^4 x\,\sin^2 x\,dx = \frac18 x - \frac18\int\left[\cos^2 2x - \cos 2x + \cos^3 2x\right] dx$$ Con $y = 2x$, $dx = \frac12 dy$: $$= \frac18 x - \frac{1}{16}\int\left[\cos^2 y - \cos y + \cos^3 y\right] dy$$ I tre integrali:

• $\int \cos^2 y\,dy = \frac{y + \sin y\cos y}{2}$ (notevole, vedi Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →);
• $\int \cos y\,dy = \sin y$;
• $\int \cos^3 y\,dy$: esponente dispari, si stacca un $\cos y$: $\int (1 - \sin^2 y)\cos y\,dy$, e con $t = \sin y$, $dt = \cos y\,dy$, diventa $\int (1 - t^2)\,dt = t - \frac{t^3}{3} = \sin y - \frac13\sin^3 y$.

Sommando, $-\sin y$ e $+\sin y$ si cancellano: $$\int\left[\cos^2 y - \cos y + \cos^3 y\right] dy = \frac{y + \sin y\cos y}{2} - \frac13\sin^3 y$$ Tornando a $x$ ($y = 2x$): $$\int \cos^4 x\,\sin^2 x\,dx = \frac18 x - \frac{1}{16}\left[\frac{2x + \sin 2x\cos 2x}{2} - \frac13\sin^3 2x\right] + k$$ Semplificando: $\frac{x}{16} - \frac{\sin 4x}{64} + \frac{\sin^3 2x}{48} + k$ (verificato derivando con Python).

(b) $\int \sin^4 x\,\cos^3 x\,dx$: un esponente dispari

L'esponente del coseno è dispari: si stacca un $\cos x$ e $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$\int \sin^4 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx = \int \sin^4 x\,(1 - \sin^2 x)\cos x\,dx$$ Con $y = \sin x$, $dy = \cos x\,dx$: $$\int y^4(1 - y^2)\,dy = \int (y^4 - y^6)\,dy = \frac{y^5}{5} - \frac{y^7}{7} + k = \frac15\sin^5 x - \frac17\sin^7 x + k$$

Confronto tra i due: con un esponente dispari bastano due righe; con entrambi pari serve la bisezione, più lunga.