Lezione 26Derivata dell'inversa e primi sviluppi di Mac-Laurin

Data: mercoledì 12 novembre 2025 · Videolezione: n. 28 della playlist ("Lezione 26", 1h36)

Argomenti trattati

1. Teorema di derivazione della funzione inversa (con dimostrazione); se $f'(x_0) = 0$ l'inversa non è derivabile in $f(x_0)$. Derivate di $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\mathrm{settsinh}$, $\mathrm{settcosh}$, $\mathrm{setttanh}$.
2. Fine degli esercizi sui limiti del foglio 31/10 - 7/11 (esercizi 18-21).
3. Quando resta solo un o-piccolo: gli sviluppi di Mac-Laurin come approssimazioni polinomiali di grado qualunque (dal formulario), con le regole su quanto sviluppare.
4. Esercizi del foglio 12-14/11: limiti con gli sviluppi (anche con un parametro, e l'errore frequente di sostituire con gli asintotici in una somma); studio di una funzione con logaritmo e arcocoseno.

Teoria

• Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → — paragrafo "Derivata della funzione inversa"
• Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → — paragrafo sugli sviluppi di Mac-Laurin
• Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → — la tabella completa (teoria nella lezione 31)

Esercizi

• Esercizio 73 · quattro limiti di ricapitolazione con logaritmi, radici e coseni — esercizi 18-21
• Esercizio 74 · limiti con gli sviluppi di Mac-Laurin — esercizi 1 e 2 del foglio nuovo
• Esercizio 75 · studio di radice di (1 - log(x²)/arccos x — esercizio 4 del foglio nuovo