Esercizio 171soluzione nota e principio di sovrapposizione

Testo (Lezione 48, esercizi 17 e 18 del foglio). 17. Determinare $k \in \mathbb{R}$ tale che $\varphi(t) = -2e^{3t}$ sia soluzione di $y'' - y' - ky = 2e^{3t}$. Per tali $k$ determinare l'integrale generale dell'equazione. 18. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y''(t) + 2y'(t) - 3y(t) = 2e^{3t} - e^{-3t}$. Le soluzioni in $[0, +\infty[$ sono tutte illimitate? Il $\lim_{t \to +\infty} e^{-3t}y(t)$ risulta limitato per tutte le soluzioni? Infinitesimo?

Teoria: Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → (metodo di somiglianza, principio di sovrapposizione), Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →.

17.

(a) Per quale $k$ la funzione $\varphi$ è soluzione

Per controllare se una funzione è soluzione basta derivarla e sostituirla. $\varphi = -2e^{3t}$, $\varphi' = -6e^{3t}$, $\varphi'' = -18e^{3t}$: $$-18e^{3t} - (-6e^{3t}) - k(-2e^{3t}) = 2e^{3t} \iff e^{3t}(-18 + 6 + 2k) = 2e^{3t}$$ Dividendo per $2e^{3t} \ne 0$: $-9 + 3 + k = 1$, cioè $k = 7$.

(b) Integrale generale con $k = 7$

$$y'' - y' - 7y = 2e^{3t}$$

Omogenea. $p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 7 = 0 \iff \lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$ (reali distinte): $$y_0(t) = c_1\,e^{\frac{1 + \sqrt{29}}{2}t} + c_2\,e^{\frac{1 - \sqrt{29}}{2}t}$$

Soluzione particolare: è già data. Con $k = 7$, $\varphi(t) = -2e^{3t}$ è una soluzione della completa: non serve il metodo di somiglianza.

$$y(t) = c_1\,e^{\frac{1 + \sqrt{29}}{2}t} + c_2\,e^{\frac{1 - \sqrt{29}}{2}t} - 2e^{3t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

18.

Il principio di sovrapposizione

Il termine noto è una somma di due termini di tipo diverso: $$b(t) = \underbrace{2e^{3t}}_{b_1(t)} + \underbrace{(-e^{-3t})}_{b_2(t)}$$ Per il principio di sovrapposizione, $y = y_0 + y_{p_1} + y_{p_2}$, con $y_{p_1}$ soluzione particolare con termine noto $b_1$ e $y_{p_2}$ con termine noto $b_2$. Ognuna si cerca con il suo $\bar\lambda$.

1. Omogenea

$$p(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0 \iff \lambda_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 3} = -1 \pm 2 = \begin{cases} 1 \\ -3 \end{cases}$$ $$y_0(t) = c_1\,e^{t} + c_2\,e^{-3t}$$

2. $y_{p_1}$ per $b_1 = 2e^{3t}$

$\bar\lambda = 3$; $p(3) = 9 + 6 - 3 = 12 \ne 0$ (le radici sono $1$ e $-3$): niente risonanza, $y_{p_1} = A\,e^{3t}$. Con $y_{p_1}' = 3Ae^{3t}$, $y_{p_1}'' = 9Ae^{3t}$: $$9A + 6A - 3A = 2 \iff 12A = 2 \iff A = \frac16, \qquad y_{p_1}(t) = \frac16 e^{3t}$$

3. $y_{p_2}$ per $b_2 = -e^{-3t}$

$\bar\lambda = -3$, e $p(-3) = 9 - 6 - 3 = 0$: $-3$ è radice semplice, c'è risonanza. Si cerca $y_{p_2} = \bar A\,t\,e^{-3t}$: $$y_{p_2}' = \bar A\,e^{-3t}(1 - 3t), \qquad y_{p_2}'' = \bar A\,e^{-3t}(-6 + 9t)$$ Sostituendo e raccogliendo $\bar A e^{-3t}$: $$\bar A\,e^{-3t}\left[(-6 + 9t) + 2(1 - 3t) - 3t\right] = \bar A\,e^{-3t}\cdot(-4) = -e^{-3t}$$ (i termini in $t$ si cancellano: $9t - 6t - 3t = 0$, come deve succedere con la risonanza). Quindi $-4\bar A = -1$, $\bar A = \frac14$: $$y_{p_2}(t) = \frac14\,t\,e^{-3t}$$

Integrale generale

$$y(t) = c_1\,e^{t} + c_2\,e^{-3t} + \frac16 e^{3t} + \frac14\,t\,e^{-3t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Verifica (con Python, dsolve): stesso integrale generale ✓.

Le domande

Le soluzioni sono tutte illimitate in $[0, +\infty[$? Sì. Per $t \to +\infty$ il termine dominante è $\frac16 e^{3t}$ (cresce più in fretta di $e^t$, mentre $e^{-3t}$ e $t\,e^{-3t}$ tendono a $0$), quindi $y(t) \sim \frac16 e^{3t} \to +\infty$ qualunque siano $c_1, c_2$.

$e^{-3t}y(t)$ ha limite limitato (finito) per tutte le soluzioni? Infinitesimo? $$e^{-3t}y(t) = c_1\,e^{-2t} + c_2\,e^{-6t} + \frac16 + \frac14\,t\,e^{-6t} \xrightarrow[t \to +\infty]{} \frac16$$ Il limite è $\frac16$ per tutte le soluzioni: finito, quindi sì; ma non è infinitesimo (non è $0$).

Errori comuni

• In 17, usare il metodo di somiglianza quando la soluzione particolare è già data dal testo.
• In 18, cercare $y_{p_2} = \bar A e^{-3t}$: è soluzione dell'omogenea, e sostituendo si ottiene $0 = -e^{-3t}$. Serve il fattore $t$.
• Cercare un'unica $y_p$ per tutta la somma con un solo $\bar\lambda$: i due termini hanno $\bar\lambda$ diversi.