Equazioni differenziali a variabili separabili

Lezioni 47-48. Prerequisiti: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →, Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

La forma

Un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili è $$y'(t) = a(t)\cdot b(y), \qquad a \in C(I),\ b \in C(J),\ I, J \text{ intervalli}$$

Il secondo membro è il prodotto di una funzione della sola $t$ per una funzione della sola $y$: le due variabili si possono "separare".

Esempi:

• $y' = \log t\cdot y$: $a(t) = \log t$, $b(y) = y$ (è anche lineare: $y' - \log t\cdot y = 0$);
• $y' = \log t\cdot y^2$ (non è lineare);
• $y' = \sqrt{\dfrac{1 + y^2}{3 + t^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3 + t^2}}\cdot\sqrt{1 + y^2}$;
• $y' = e^{t + y^3} = e^t\cdot e^{y^3}$.

Non sono a variabili separabili (c'è una somma, o $t$ e $y$ sono "mescolate"):

• $y' = t + y^3$;
• $y' = \log\dfrac{1 + y}{1 + t^2} = \log(1 + y) - \log(1 + t^2)$;
• $y' = \sin(t\,y)$.

Esistenza e unicità: solo locale

Teorema 1 (senza dimostrazione). Siano $a \in C(I)$, $b \in C(J)$, e sia fissata una condizione iniziale $x_0 \in J$ in un istante $t_0 \in I$. Per il problema di Cauchy $$\begin{cases} y' = a(t)\,b(y) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$$

1. se $a$ e $b$ sono solo continue, la soluzione esiste ma può non essere unica, e l'intervallo massimale $I_{\max}$ può essere strettamente contenuto in $I$;
2. se $a$ è continua e $b \in C^1(J)$, la soluzione è unica, ma $I_{\max}$ può ancora essere più piccolo di $I$;
3. se $a$ è continua, $b \in C^1(\mathbb{R})$ e inoltre $b$ oppure $b'$ è limitata, c'è un'unica soluzione definita su tutto $I$ ($I_{\max} = I$).

Diversamente dalle equazioni lineari (dove $I_{\max}$ è tutto l'intervallo di continuità dei coefficienti), qui la soluzione può "esplodere" in tempo finito: per esempio la soluzione di $y' = t\,y^2$ con $y(0) = 1$ è $\frac{2}{2 - t^2}$, che va all'infinito per $t \to \pm\sqrt2$ (vedi l'Esercizio 168 · y' = t y² e y' = radice cubica di y).

Il metodo risolvente

Le soluzioni di $y' = a(t)\,b(y)$ sono di due tipi.

1. Le soluzioni costanti (integrali singolari). Si risolve $b(y) = 0$ in $J$. Ogni zero $\bar y$ di $b$ dà la soluzione costante $$y(t) = \bar y \qquad \forall t \in I$$ Infatti una costante ha $y' = 0$, e il secondo membro vale $a(t)\,b(\bar y) = a(t)\cdot 0 = 0$.

2. Le soluzioni con $b(y(t)) \ne 0$. Si può dividere per $b(y(t))$ e integrare in $t$: $$\frac{y'(t)}{b(y(t))} = a(t) \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{y'(t)}{b(y(t))}\,dt = \int a(t)\,dt$$ A sinistra si sostituisce $y = y(t)$, $dy = y'(t)\,dt$: $$\int\frac{dy}{b(y)} = \int a(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad B(y(t)) = A(t) + c, \qquad c \in \mathbb{R}$$ dove $B$ è una primitiva di $\frac{1}{b}$ e $A$ una primitiva di $a$. Se $B$ è invertibile si ricava $$y(t) = B^{-1}\big(A(t) + c\big)$$

In pratica si scrive $\frac{dy}{dt} = a(t)\,b(y)$, si "separano" le variabili, $\frac{dy}{b(y)} = a(t)\,dt$, e si integrano i due membri, ognuno rispetto alla sua variabile, con una sola costante.

L'integrale generale è l'unione delle soluzioni costanti (punto 1) e delle soluzioni $y(t) = B^{-1}(A(t) + c)$ (punto 2).

Il problema di Cauchy, passo per passo

Con la condizione $y(t_0) = x_0$:

1. Prima di tutto si controlla se $b(x_0) = 0$. In tal caso la costante $y(t) = x_0$ è una soluzione (e se $b \in C^1$ è l'unica).
2. Se $b(x_0) \ne 0$, si sostituisce $t_0$ e $x_0$ nella formula del punto 2 e si trova $c$.
3. L'intervallo massimale:
   • se $b \in C^1(\mathbb{R})$: $I_{\max}$ è l'intersezione di $I$ con il più grande intervallo contenente $t_0$ su cui la formula di $y(t)$ è definita;
   • se $b$ è definita solo su $J$: in più bisogna restare negli istanti in cui $y(t) \in J$.

Quando un'equazione è sia lineare sia a variabili separabili

Per esempio $y' = (y + a)\,t$ è a variabili separabili ($a(t) = t$, $b(y) = y + a$) ma è anche lineare: $y' - t\,y = a\,t$. Di solito conviene risolverla come lineare, con la formula, che dà subito tutte le soluzioni senza dover distinguere gli integrali singolari (vedi l'Esercizio 170 · un problema di Cauchy con parametro e la sostituzione z = y/t).

Un'estensione: le equazioni $y' = g\left(\frac yt\right)$

Equazioni come $y' = \frac{t^3 + y^3}{t\,y^2} = \frac{t^2}{y^2} + \frac yt$ non sono né lineari né a variabili separabili. Ma il secondo membro dipende solo da $\frac yt$, e con la sostituzione $z(t) = \frac{y(t)}{t}$ (cioè $y = tz$, $y' = z + t z'$) diventano a variabili separabili in $z$. La prof le ha mostrate perché possono servire in altri corsi; non sono nel programma d'esame. Esempio nell'Esercizio 170 · un problema di Cauchy con parametro e la sostituzione z = y/t.

Errori comuni

• Dimenticare le soluzioni costanti: quando si divide per $b(y)$ si perdono le soluzioni con $b(y) = 0$.
• Mettere due costanti (una per ogni integrale): ne basta una, perché la differenza di due costanti è una costante.
• Dimenticare l'intervallo massimale: la formula può avere senso su un insieme che non è un intervallo; si prende il più grande intervallo che contiene $t_0$.
• Pensare che la soluzione del problema di Cauchy sia sempre unica: con $b$ solo continua (come $\sqrt[3]{y}$ in $0$) possono essercene infinite.