Lezione 10Equazioni differenziali del primo ordine

Modulo: Analisi, Lezione 10 ("Equazioni differenziali"), slide per prendere appunti. Le slide della Lezione 9 di analisi non sono ancora disponibili: la teoria della formula di Green e del flusso, costruita sui Ripassi e sugli appelli, è in Formula di Green e calcolo di areeFormula di Green: se D è un dominio regolare del piano e ∂⁺D il suo bordo orientato positivamente (con D a sinistra: antiorario sul bordo esterno, orario sui buchi), allora ∮_{∂⁺D} P dx + Q dy = ∫∫_D (∂ₓQ − ∂ᵧP) dx dy. Trasforma una circuitazione in un integrale doppio (e viceversa). Area(D) = ∮ x dy = −∮ y dx = ½ ∮ (x dy − y dx): l'area racchiusa da una curva si calcola dalla sua parametrizzazione. Per campi irrotazionali su D senza buchi la circuitazione è nulla.Formula di Green e calcolo di aree → e Flusso di un campo attraverso una superficieIl flusso di un campo F attraverso una superficie parametrica p : D → R³ orientata dal normale N = p_u × p_v è ∫∫_D F(p(u,v))·(p_u × p_v) du dv (= ∫∫ F·n dσ, con n versore normale). Per un grafico z = f(x,y) orientato verso l'alto N = (−fₓ, −f_y, 1). Il flusso cambia segno invertendo l'orientazione. Per una superficie chiusa orientata verso l'esterno, il teorema della divergenza dà flusso uscente = ∫∫∫ div F, utile come controllo.Flusso di un campo attraverso una superficie →.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Introduzione: decadimento radioattivo, crescita logistica, reti neurali come modelli discreti e continui; soluzione e problema di Cauchy; interpretazione geometrica con il campo $(1, f(t, y))$; l'equazione $y' = f(t)$; esistenza e unicità locale, soluzione massimale; la non unicità per $y' = 2\sqrt{|y|}$.
2. Unità 3 - Equazioni a variabili separabili: definizione, soluzioni costanti, metodo; $y' = ty^2$, $y' = -\frac ty$, logistica, $y' = t\sqrt{y - 3}$, $y' = e^{-y}(2x - 4)$.
3. Unità 4 - Equazioni lineari del primo ordine: il caso $a = 0$; il metodo del fattore $e^{-A(t)}$; formula generale; esempi; equazioni differenziali esatte.

La teoria delle equazioni separabili e lineari è la stessa di Analisi 1; la nota di questo corso raccoglie i richiami e aggiunge le equazioni esatte (legate ai campi conservativi della Lezione 5).

Teoria

• Equazioni differenziali esatteUn'equazione M(t,y) + N(t,y) y' = 0 è esatta se il campo (M, N) è conservativo, cioè ha una primitiva U con ∂_t U = M, ∂_y U = N; allora lungo ogni soluzione d/dt U(t, y(t)) = M + N y' = 0, e le soluzioni sono date implicitamente da U(t, y) = c (curve di livello di U). Su un dominio semplicemente connesso basta la condizione ∂_y M = ∂_t N. Si trova U con le integrazioni parziali, si fissa c con la condizione iniziale e si ricava y, scegliendo il ramo e l'intervallo massimale (dove N ≠ 0).Equazioni differenziali esatte →
• Da Analisi 1: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →, Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →, Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →

Esercizi

• Esercizio 34 · equazioni a variabili separabili ed esempi del corso — esempi delle Unità 1 e 3
• Esercizio 35 · problemi di Cauchy a variabili separabili dagli esercizi e dagli appelli — esercizi 3-6, appelli 2014-2019
• Esercizio 36 · equazioni lineari del primo ordine — esempi dell'Unità 4, esercizi 7-12, appello 4 del 2014/15
• Esercizio 37 · equazioni differenziali esatte — esercizi 1 e 2