Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn

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Lezione 1 di analisi, Unità 1. Prerequisiti: Norma, distanza e prodotto scalare in Rn.

In una variabile si parlava di intervalli aperti e chiusi e di "punti vicini" a un punto. In $\mathbb{R}^n$ gli intervalli si sostituiscono con le palle: tutte le definizioni di questa nota dicono, in modi diversi, "che cosa succede in una piccola palla attorno al punto". Servono per dire dove si possono calcolare limiti e derivate (nei punti interni) e dove una funzione ha sicuramente massimo e minimo (sui chiusi e limitati).

Intorni

Definizione. Un intorno di $p \in \mathbb{R}^n$ è un qualunque insieme che contiene una palla centrata in $p$ (di raggio positivo, anche piccolissimo).

Per la proposizione su palle e cubi, si può dire equivalentemente "che contiene un cubo centrato in $p$ ".

Esempi del prof (intorni di $(0, 0)$ nel piano):

$\mathbb{R}^2$ : contiene ogni palla.
$\{(x, y) : |x - y| \le 10^{-6}\}$ : è la striscia tra le rette $y = x - 10^{-6}$ e $y = x + 10^{-6}$ . È sottilissima, ma contiene il disco di centro l'origine e raggio $r = \frac{10^{-6}}{2}$ : infatti se $|(x, y)| \le r$ allora $|x| \le r$ e $|y| \le r$ , quindi $|x - y| \le |x| + |y| \le 2r = 10^{-6}$ .
$Q\big((0,0), 10^{-6}\big[$ : contiene il disco di raggio $10^{-6}$ .

Non è un intorno dell'origine il semipiano $\{(x, y) : y \ge x\}$ : l'origine sta sul suo bordo (la retta $y = x$ ), e ogni disco centrato in $(0,0)$ , per quanto piccolo, contiene punti come $(\varepsilon, -\varepsilon)$ con $y < x$ , che non stanno nel semipiano.

Punti interni e insiemi aperti

Definizione. Sia $D \subseteq \mathbb{R}^n$ . Un punto $p \in D$ è interno a $D$ se esiste $\delta > 0$ tale che $B(p, \delta[ \subseteq D$ . L'insieme dei punti interni si indica con $\operatorname{int}(D)$ .

Definizione. $D$ è aperto se ogni suo punto è interno ( $D = \operatorname{int}(D)$ ). $D$ è chiuso se il suo complementare $\mathbb{R}^n \setminus D$ è aperto.

$\emptyset$ e $\mathbb{R}^n$ sono sia aperti sia chiusi (per $\emptyset$ non c'è nessun punto da controllare; $\mathbb{R}^n$ contiene ogni palla). Attenzione: "chiuso" non significa "non aperto". Ci sono insiemi né aperti né chiusi, come $[0, 1[$ in $\mathbb{R}$ , o un disco con metà del bordo.

Esempio: un disco aperto è aperto. Sia $p \in B(c, r[$ , cioè $|p - c| < r$ . Scegliamo $\delta = r - |p - c| > 0$ (la distanza di $p$ dal bordo). Se $|x - p| < \delta$ , per la disuguaglianza triangolare $|x - c| \le |x - p| + |p - c| < \delta + |p - c| = r$ quindi $x \in B(c, r[$ . Ogni punto ha una pallina tutta dentro: il disco è aperto. Il disco chiuso $B(c, r]$ invece non è aperto: un punto del cerchio $|p - c| = r$ non ha nessuna pallina dentro il disco.

Frontiera e chiusura

Definizione. La frontiera (o bordo) $\partial D$ è l'insieme dei punti $p \in \mathbb{R}^n$ tali che ogni intorno di $p$ contiene sia punti di $D$ sia punti di $\mathbb{R}^n \setminus D$ .

Un punto di frontiera può appartenere a $D$ oppure no.

Definizione. La chiusura di $D$ è $\overline{D} := D \cup \partial D$ . È il più piccolo insieme chiuso che contiene $D$ .

Proposizione. $p \in \overline D$ se e solo se ogni intorno di $p$ contiene punti di $D$ .

Esempio. Per il disco aperto $D = B(0, 1[$ del piano: $\operatorname{int}(D) = D$ , $\partial D = \{|x| = 1\}$ (il cerchio unitario), $\overline D = B(0, 1]$ . Per il disco chiuso: stesso interno, stessa frontiera, stessa chiusura; cambia solo il fatto che la frontiera appartiene all'insieme.

Collegamenti utili (si ricavano dalle definizioni):

ogni punto di $\mathbb{R}^n$ è di uno solo di tre tipi rispetto a $D$ : interno a $D$ , interno al complementare, oppure di frontiera;
$D$ è aperto $\iff$ non contiene nessun punto della sua frontiera;
$D$ è chiuso $\iff$ contiene tutta la sua frontiera ( $D = \overline D$ );
$\partial D = \overline D \setminus \operatorname{int}(D)$ .

Insiemi limitati

$D$ è limitato se sta dentro una palla: esiste $R > 0$ con $|x| \le R$ per ogni $x \in D$ . Gli insiemi chiusi e limitati (detti anche compatti) sono quelli su cui il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo di una funzione continua: vedi Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati.

Come si riconoscono aperti e chiusi in pratica

Verificare la definizione punto per punto è faticoso. Nei casi del corso basta questa regola (la "fabbrica" di aperti e chiusi, che il prof riprende nella lezione 2 dopo aver introdotto le funzioni continue):

Se $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ è continua, gli insiemi definiti con disuguaglianze strette come $\{f < c\}$ e $\{f > c\}$ sono aperti, quelli definiti con $\le$ , $\ge$ , $=$ come $\{f \le c\}$ , $\{f = c\}$ sono chiusi.

Per esempio $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1\}$ è aperto, $\{(x, y) : 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ (una corona circolare) è chiuso e limitato, il semipiano $\{y \ge x\}$ è chiuso ma non limitato.

Unioni e intersezioni

Un'unione qualsiasi (anche infinita) di aperti è aperta.

Un'intersezione finita di aperti è aperta; un'intersezione infinita può non esserlo.

Passando ai complementari: un'intersezione qualsiasi di chiusi è chiusa, un'unione finita di chiusi è chiusa.

La dimostrazione e i controesempi sono nell'Esercizio 4 · unioni e intersezioni di aperti e chiusi. Il motivo per cui serve "finita": per l'intersezione di $A_1, \dots, A_m$ si prende il minimo dei raggi delle palline, che è positivo; con infiniti insiemi l'estremo inferiore dei raggi può essere $0$ .

Errori comuni

Pensare che chiuso sia il contrario di aperto.
Dimenticare i punti isolati nella frontiera: se $D$ è un disco più un punto lontano, quel punto è di frontiera (ogni sua pallina contiene punti fuori da $D$ ) ma non è interno. Vedi l'Esercizio 1 · interno e frontiera di un disco con un punto e massimo di u·v.
Credere che la frontiera stia sempre dentro l'insieme: per un aperto, nessun punto della frontiera gli appartiene.

Esercizi su questo argomento

Lezioni in cui compare

Lezione 1 · Spazio Rn, curve e lunghezza