Esercizio 6ellisse, parametrizzazioni e curve nello spazio

Testo (Lezione 1: esempi delle Unità 1-2 ed esercizi 1 e 5).

1. Trovare centro e semiassi dell'ellisse $x^2 - 4x + 3y^2 + 18y + 6 = 0$ e darne una parametrizzazione.
2. Descrivere l'insieme $M = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 = 1,\ z = 2x\}$. È vero che $M$ è una curva (quale)? O si tratta del sostegno di una curva (quale)?
3. Trovare una parametrizzazione della curva $r$ il cui sostegno è l'intersezione del paraboloide $\{(x, y, z) : z = x^2 + y^2\}$ con il cilindro a sezione ellittica $\{(x, y, z) : x^2 + 4y^2 = 4\}$.

Teoria: Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →, Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn →.

1. L'ellisse $x^2 - 4x + 3y^2 + 18y + 6 = 0$

Completamento dei quadrati (spiegato passo per passo nella nota di teoria):

• $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$;
• $3y^2 + 18y = 3(y^2 + 6y) = 3\big[(y + 3)^2 - 9\big] = 3(y + 3)^2 - 27$ (si raccoglie prima il $3$).

L'equazione diventa $(x - 2)^2 + 3(y + 3)^2 - 4 - 27 + 6 = 0$, cioè $(x - 2)^2 + 3(y + 3)^2 = 25$, e dividendo per $25$: $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 3)^2}{(5/\sqrt3)^2} = 1$$ Centro $(2, -3)$, semiassi $5$ e $\frac{5}{\sqrt3} \approx 2.89$.

Parametrizzazione. Con la regola $(a + A\cos t,\ b + B\sin t)$: $$f(t) = \left(2 + 5\cos t,\ -3 + \frac{5}{\sqrt3}\sin t\right), \qquad t \in [0, 2\pi]$$ Verifica (sostituendo nell'equazione di partenza, con Python): si ottiene $0$ per ogni $t$ ✓.

2. L'insieme $M = \{x^2 + y^2 = 1,\ z = 2x\}$

Descrizione. $x^2 + y^2 = 1$ è il cilindro di raggio $1$ attorno all'asse $z$; $z = 2x$ è un piano che contiene l'asse $y$ ed è inclinato. Tagliare un cilindro con un piano obliquo dà un'ellisse: $M$ è un'ellisse nello spazio, centrata nell'origine.

È una curva? No: $M$ è un insieme di punti, mentre una curva è una funzione $f : [a, b] \to \mathbb{R}^3$. $M$ è però il sostegno di una curva. Per trovarla:

1. il cerchio $x^2 + y^2 = 1$: $x = \cos t$, $y = \sin t$;
2. dal piano: $z = 2x = 2\cos t$.

$$f(t) = (\cos t,\ \sin t,\ 2\cos t), \qquad t \in [0, 2\pi]$$ è una parametrizzazione di $M$ (chiusa e semplice).

Semiassi dell'ellisse (per capire la forma). Il punto più lontano dal centro si ha con $t = 0$: $f(0) = (1, 0, 2)$, a distanza $\sqrt{1 + 4} = \sqrt5$; il più vicino con $t = \frac\pi2$: $f(\frac\pi2) = (0, 1, 0)$, a distanza $1$. Semiassi $\sqrt5$ e $1$: infatti $|f(t)|^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + 4\cos^2 t = 1 + 4\cos^2 t$ varia tra $1$ e $5$.

3. Paraboloide $z = x^2 + y^2$ e cilindro $x^2 + 4y^2 = 4$

1. Il cilindro. Dividendo per $4$: $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$, ellisse di semiassi $2$ (in $x$) e $1$ (in $y$). Si parametrizza con $x = 2\cos t$, $y = \sin t$.
2. Il paraboloide dà la quota: $z = x^2 + y^2 = 4\cos^2 t + \sin^2 t = 1 + 3\cos^2 t$ (usando $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$).

$$r(t) = (2\cos t,\ \sin t,\ 1 + 3\cos^2 t), \qquad t \in [0, 2\pi]$$

Com'è fatta. La quota $z = 1 + 3\cos^2 t$ oscilla tra $1$ (per $t = \frac\pi2, \frac{3\pi}2$, nei punti $(0, \pm1, 1)$) e $4$ (per $t = 0, \pi$, nei punti $(\pm2, 0, 4)$): una "sella" che sale due volte e scende due volte in un giro.

Verifica: $x^2 + 4y^2 = 4\cos^2 t + 4\sin^2 t = 4$ ✓ e $x^2 + y^2 = 4\cos^2 t + \sin^2 t = z$ ✓.

Errori comuni

• Parametrizzare l'ellisse $x^2 + 4y^2 = 4$ con $(\cos t, 2\sin t)$: i semiassi sono scambiati. Il semiasse in $x$ è $\sqrt4 = 2$ (dove $y = 0$), quello in $y$ è $1$.
• Dire che $M$ "è una curva": è il sostegno di una curva.