Esercizio 7astroide, sostegno e lunghezza

Testo (Lezione 1, esercizio 3). Disegnare il sostegno della curva $f(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$, $t \in [0, 2\pi]$ e calcolarne la lunghezza.

Teoria: Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.

Il sostegno

Eliminare il parametro. Da $x = \cos^3 t$ e $y = \sin^3 t$, estraendo la radice cubica (che è definita anche per numeri negativi e conserva il segno): $\cos t = x^{1/3}$, $\sin t = y^{1/3}$. Dalla relazione fondamentale $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$: $$x^{2/3} + y^{2/3} = 1$$ È l'astroide.

Punti notevoli (tabella di valori):

(per $t = \frac\pi4$: $\cos^3\frac\pi4 = \left(\frac{\sqrt2}2\right)^3 = \frac{2\sqrt2}{8} = \frac{\sqrt2}4$). Il punto a $\frac\pi4$ è molto più vicino all'origine di quanto sarebbe sul cerchio ($0.71$): i lati sono "incurvati verso l'interno". Il sostegno è una stella a quattro punte in $(\pm1, 0)$, $(0, \pm1)$, simmetrica rispetto a entrambi gli assi.

Le punte. $f'(t) = (-3\cos^2 t\sin t,\ 3\sin^2 t\cos t)$ si annulla dove $\sin t = 0$ o $\cos t = 0$, cioè in $t = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$: proprio nelle punte. La curva è $C^1$ ma non regolare: nelle punte la velocità si azzera e la direzione del moto cambia bruscamente.

La lunghezza

$f$ è $C^1$, quindi $L = \int_0^{2\pi}|f'(t)|\,dt$. Calcoliamo la norma della velocità raccogliendo $9\sin^2 t\cos^2 t$: $$|f'(t)|^2 = 9\cos^4 t\sin^2 t + 9\sin^4 t\cos^2 t = 9\sin^2 t\cos^2 t\,(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9\sin^2 t\cos^2 t$$ $$|f'(t)| = 3|\sin t\cos t| = \frac32|\sin 2t|$$ (la radice di un quadrato è il valore assoluto; poi $\sin t\cos t = \frac12\sin 2t$).

Uso della simmetria. I quattro archi tra due punte consecutive sono uguali (la curva è simmetrica rispetto agli assi), quindi basta calcolare il primo, $t \in [0, \frac\pi2]$, dove $\sin 2t \ge 0$ e il modulo si toglie: $$L = 4\int_0^{\pi/2}\frac32\sin 2t\,dt = 6\left[-\frac{\cos 2t}{2}\right]_0^{\pi/2} = 6\cdot\frac{1 - (-1)}{2} = 6$$

Verifica numerica (Python, integrando $3|\sin t\cos t|$ su $[0, 2\pi]$): $6.000$ ✓.

Confronto. Il cerchio unitario, che passa per le stesse quattro punte, è lungo $2\pi \approx 6.28$. L'astroide è più corta perché "taglia" verso l'interno, ma non molto: il quadrato con vertici nelle punte ha perimetro $4\sqrt2 \approx 5.66$, e l'astroide sta in mezzo.

Errori comuni

• Dimenticare il modulo: $\int_0^{2\pi}\frac32\sin 2t\,dt = 0$, risultato assurdo per una lunghezza. Il modulo conta: su $[\frac\pi2, \pi]$ il seno di $2t$ è negativo.
• Scrivere la radice di $9\sin^2 t\cos^2 t$ come $3\sin t\cos t$ senza modulo.