Esercizio 10riparametrizzare con la lunghezza d'arco

Testo.

1. (Lezione 1, esercizio 4.) Riparametrizzare la curva $f(t) = 3e^t(\cos t, \sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$, con la lunghezza d'arco.
2. (Lezione 1, Unità 5.) Parametrizzare con la lunghezza d'arco la spirale logaritmica, espressa in coordinate polari da $\rho(t) = e^{t/10}$, $t \in [-10, 10]$.

Teoria: Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.

Il metodo (richiamo)

1. Ascissa curvilinea: $s = \varphi(t) = \int_a^t|f'(u)|\,du$.
2. Inversione: $t = \varphi^{-1}(s)$.
3. Sostituzione: $g(s) = f(\varphi^{-1}(s))$, $s \in [0, L]$.

Per curve in coordinate polari $|f'(t)| = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2}$.

1. $f(t) = 3e^t(\cos t, \sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$

È una curva in coordinate polari con $\rho(t) = 3e^t$ (una spirale logaritmica).

Passo 1. $\rho' = 3e^t$, quindi $|f'(t)| = \sqrt{9e^{2t} + 9e^{2t}} = 3\sqrt2\,e^t$ e $$s = \int_0^t 3\sqrt2\,e^u\,du = 3\sqrt2\,(e^t - 1)$$ In particolare la lunghezza totale è $L = \varphi(2\pi) = 3\sqrt2\,(e^{2\pi} - 1)$.

Passo 2. Si isola $e^t$ e si prende il logaritmo: $$e^t = 1 + \frac{s}{3\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad t = \log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right)$$ (l'argomento del logaritmo è $\ge 1$ per $s \ge 0$, quindi va bene).

Passo 3. Nella curva compare $3e^t = 3\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right) = 3 + \frac{s}{\sqrt2}$, quindi $$g(s) = \left(3 + \frac{s}{\sqrt2}\right)\left(\cos\log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right),\ \sin\log\left(1 + \frac{s}{3\sqrt2}\right)\right), \qquad s \in \big[0,\ 3\sqrt2\,(e^{2\pi} - 1)\big]$$

Verifica (con Python): la norma di $g'(s)$ semplificata vale $1$ ✓. Interpretazione: con la lunghezza d'arco la distanza dall'origine $3 + \frac{s}{\sqrt2}$ cresce linearmente nella strada percorsa (è l'angolo costante di $45°$ della spirale logaritmica: ogni metro di strada allontana di $\frac{1}{\sqrt2}$ metri).

2. Spirale logaritmica $\rho(t) = e^{t/10}$, $t \in [-10, 10]$

La curva è $f(t) = e^{t/10}(\cos t, \sin t)$: parte vicino all'origine, a distanza $e^{-1} \approx 0.37$, e compie circa $\frac{20}{2\pi} \approx 3.2$ giri allontanandosi lentamente fino a distanza $e \approx 2.72$.

Passo 1. $\rho' = \frac{1}{10}e^{t/10}$, quindi $$|f'(t)| = \sqrt{e^{t/5} + \frac{1}{100}e^{t/5}} = e^{t/10}\sqrt{\frac{101}{100}} = \frac{\sqrt{101}}{10}\,e^{t/10}$$ e, partendo da $a = -10$, $$s = \int_{-10}^t\frac{\sqrt{101}}{10}\,e^{u/10}\,du = \frac{\sqrt{101}}{10}\Big[10\,e^{u/10}\Big]_{-10}^t = \sqrt{101}\,\big(e^{t/10} - e^{-1}\big)$$ Lunghezza totale: $L = \sqrt{101}\,(e - e^{-1}) \approx 23.62$.

Passo 2. $$e^{t/10} = \frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e \quad\Longrightarrow\quad t = 10\log\left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right)$$

Passo 3. Il raggio $e^{t/10}$ diventa $\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e$, quindi $$g(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right)\Big(\cos\theta(s),\ \sin\theta(s)\Big), \qquad \theta(s) = 10\log\left(\frac{s}{\sqrt{101}} + \frac1e\right), \qquad s \in \big[0,\ \sqrt{101}\,(e - e^{-1})\big]$$

Controlli. Per $s = 0$: raggio $\frac1e$ e angolo $10\log\frac1e = -10$, cioè il punto iniziale $f(-10)$ ✓. Per $s = L$: raggio $\frac{L}{\sqrt{101}} + \frac1e = e$ e angolo $10\log e = 10$, il punto finale ✓.

Errori comuni

• Far partire l'integrale da $0$ invece che dall'estremo iniziale $a = -10$: l'ascissa curvilinea deve valere $0$ nel punto iniziale.
• Sbagliare la primitiva di $e^{u/10}$: è $10\,e^{u/10}$ (si divide per il coefficiente $\frac1{10}$, cioè si moltiplica per $10$).