Integrale curvilineo di un campo vettoriale

Lezione 5 di analisi, Unità 3-4. Prerequisiti: Campi vettoriali, campi radiali e campi gradienteUn campo vettoriale è F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ (a ogni punto un vettore: velocità di un fluido, forza). Radiale: F(x) = g(|x|) x/|x| (diretto come il raggio, intensità dipendente solo dalla distanza), come i campi gravitazionale ed elettrico K x/|x|³. Gradiente: F = ∇U con U ∈ C¹ (U è una primitiva; in fisica il potenziale è −U); su un aperto connesso le primitive differiscono per una costante. Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva G(|x|) dove G' = g.Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente →, Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →.

Motivazione: il lavoro di una forza

Una forza costante $F$ che sposta un punto lungo il segmento da $P$ a $Q$ compie il lavoro $F \cdot \overrightarrow{PQ}$ (conta solo la componente della forza lungo lo spostamento). Se la forza cambia da punto a punto e il percorso è curvo, si spezza il percorso in tratti piccoli, quasi rettilinei: sul tratto da $r(t)$ a $r(t + dt)$ lo spostamento è $\approx r'(t)\,dt$ e il lavoro è $\approx F(r(t))\cdot r'(t)\,dt$. Sommando si ottiene un integrale.

Definizione

Definizione. Sia $r : [a, b] \to D \subseteq \mathbb{R}^n$ un cammino e $F : D \to \mathbb{R}^n$ un campo continuo. L'integrale curvilineo di $F$ lungo $r$ è $$\int_r F \cdot dr = \int_r F(x)\cdot dr := \int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)\,dt$$ Se $F$ è un campo di forze, è il lavoro di $F$ lungo $r$. Se $r$ è chiuso (un circuito) si parla di circuitazione e si scrive $\oint_r F \cdot dr$.

Come si calcola: si sostituisce la curva nel campo, si fa il prodotto scalare con la velocità $r'(t)$, si integra in $t$. Rispetto all'integrale di una funzione: niente modulo, c'è un prodotto scalare.

Esempio del prof. $F(x, y) = (-2x, y^2)$ lungo $r(t) = (t^2, 3t)$, $t \in [0, 1]$. $F(r(t)) = (-2t^2,\ 9t^2)$, $r'(t) = (2t, 3)$: $$\int_r F \cdot dr = \int_0^1(-2t^2, 9t^2)\cdot(2t, 3)\,dt = \int_0^1(-4t^3 + 27t^2)\,dt = -1 + 9 = 8$$

Esempio (forza costante su un segmento). Con $r(t) = P + t\overrightarrow{PQ}$, $t \in [0, 1]$, si ha $r'(t) = \overrightarrow{PQ}$ e $$\int_r F\cdot dr = \int_0^1 F\cdot\overrightarrow{PQ}\,dt = F\cdot\overrightarrow{PQ}$$ il lavoro "da liceo": la definizione generale lo contiene.

Altre notazioni

Con il versore tangente. Se $r$ è regolare e semplice, sul sostegno è definito il versore tangente $T(r(t)) = \frac{r'(t)}{|r'(t)|}$, e $$\int_r F\cdot dr = \int_a^b F(r(t))\cdot\frac{r'(t)}{|r'(t)|}\,|r'(t)|\,dt = \int_r F\cdot T\,ds$$ L'integrale del campo è l'integrale curvilineo (come in Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →) della componente tangenziale $F \cdot T$ del campo.

Notazione "termodinamica". Scrivendo $dr = (dx_1, \dots, dx_n)$: $$\int_r F\cdot dr = \int_r F_1\,dx_1 + \cdots + F_n\,dx_n$$ Per calcolarla si sostituisce $x_i = r_i(t)$ e $dx_i = r_i'(t)\,dt$. Nell'esempio precedente: $\int_r -2x\,dx + y^2\,dy$ con $x = t^2$, $dx = 2t\,dt$, $y = 3t$, $dy = 3\,dt$ dà $\int_0^1(-4t^3 + 27t^2)\,dt = 8$, come prima.

Proprietà

Siano $F, G$ campi continui su $D$ e $r$ un cammino in $D$.

1. $\int_r(F + G)\cdot dr = \int_r F\cdot dr + \int_r G\cdot dr$;
2. $\int_r cF\cdot dr = c\int_r F\cdot dr$;
3. (cammino inverso) $\int_{r^{-1}}F\cdot dr = -\int_r F\cdot dr$;
4. (giustapposizione) $\int_{r_1r_2}F\cdot dr = \int_{r_1}F\cdot dr + \int_{r_2}F\cdot dr$.

La differenza chiave con l'integrale di una funzione è la 3: percorrendo il cammino al contrario la velocità cambia segno, quindi il lavoro cambia segno (salire contro la gravità richiede lavoro, scendere lo restituisce). L'integrale di un campo dipende dal verso di percorrenza; non dipende invece dalla velocità (parametrizzazioni equivalenti con lo stesso verso danno lo stesso integrale).

Esempio del prof (con una giustapposizione). $F(x, y) = (3y,\ x^2 - y)$ e $r = r_1r_2$, dove $r_1$ è la metà superiore del cerchio unitario (da $(1, 0)$ a $(-1, 0)$) e $r_2$ è la curva cartesiana $y = x^2 - 1$, $x \in [-1, 1]$ (da $(-1, 0)$ a $(1, 0)$).

• $r_1(t) = (\cos t, \sin t)$, $t \in [0, \pi]$, $r_1' = (-\sin t, \cos t)$: $$\int_0^\pi\big[3\sin t\cdot(-\sin t) + (\cos^2 t - \sin t)\cos t\big]dt = -3\int_0^\pi\sin^2 t\,dt + \int_0^\pi\cos^3 t\,dt - \int_0^\pi\sin t\cos t\,dt = -\frac{3\pi}{2} + 0 - 0$$ ($\int_0^\pi\sin^2 t\,dt = \frac\pi2$; gli altri due integrali sono nulli per simmetria rispetto a $t = \frac\pi2$).
• $r_2(t) = (t, t^2 - 1)$, $t \in [-1, 1]$, $r_2' = (1, 2t)$, $F(r_2(t)) = (3t^2 - 3,\ t^2 - t^2 + 1) = (3t^2 - 3, 1)$: $$\int_{-1}^1(3t^2 - 3 + 2t)\,dt = 2 - 6 + 0 = -4$$

Totale (il cammino è chiuso: è una circuitazione): $\oint_r F\cdot dr = -\frac{3\pi}2 - 4$ (verificato con Python).

Errori comuni

• Mettere il modulo $|r'(t)|$ come nell'integrale di una funzione: qui c'è il prodotto scalare con $r'(t)$.
• Sbagliare il verso: se il testo dà un verso (es. "orientato in senso antiorario") la parametrizzazione deve rispettarlo, altrimenti il segno è sbagliato.
• Dimenticare di sostituire la curva dentro il campo: $F(r(t))$, non $F(t)$.