Esercizio 48densità discrete e funzioni di distribuzione

Testo.

1. (Lezione 4 di probabilità, Wooclap.) Il numero di imperfezioni su un rotolo sintetico lungo $10$ metri è una variabile aleatoria con densità discreta

Determinare la funzione di distribuzione di $X$. 2. (Lezione 4.) Sia $X$ una variabile aleatoria che assume i valori $1, 2, 3, \dots$ con $P(X = k) = \frac{1}{2^{k+1}}$, $k = 1, 2, \dots$ Abbozzare il grafico di $F_X$. 3. (Lezione 4.) Lanciamo due volte un dado, lanci indipendenti. Sia $X$ il numero di $6$. Descrivere la distribuzione di $X$ e tracciarne il grafico. 4. (Appello 4, 5 settembre 2017.) Sia $X$ binomiale di parametri $(n, 0.5)$ e $Y = 2X$. Dire se $Y$ è discreta ed in caso affermativo determinarne la densità discreta.

Teoria: Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzioneUna variabile aleatoria è una funzione X : Ω → R; {X ∈ A} = X⁻¹(A) è un evento. X è discreta se assume un insieme finito o numerabile di valori x₀, x₁, …; la densità discreta pₓ(x) = P(X = x) ha somma 1 e determina tutto: P(X ∈ A) = Σ_{xₖ∈A} pₓ(xₖ). La funzione di distribuzione Fₓ(x) = P(X ≤ x) è crescente, continua a destra, con limiti 0 e 1; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a), P(X = a) = F(a) − F(a⁻) (il salto in a), P(X < a) = F(a⁻). Per una discreta F è a gradini. Bernoulli Be(p): vale 1 (successo) con probabilità p, 0 altrimenti.Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione →, Variabili binomiale e geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →.

1. Le imperfezioni del rotolo

Controllo: $0.41 + 0.37 + 0.16 + 0.05 + 0.01 = 1$ ✓. La funzione di distribuzione è la somma cumulata delle probabilità dei valori $\le x$, costante tra un valore e l'altro: $$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 0.41 & 0 \le x < 1 \\ 0.78 & 1 \le x < 2 \\ 0.94 & 2 \le x < 3 \\ 0.99 & 3 \le x < 4 \\ 1 & x \ge 4 \end{cases}$$ I salti sono in $0, 1, 2, 3, 4$, di ampiezza pari alle probabilità della tabella. Per esempio la probabilità di al più una imperfezione è $F_X(1) = 0.78$, quella di almeno due è $1 - F_X(1) = 0.22$.

2. $P(X = k) = \frac{1}{2^{k+1}}$: un controllo che fallisce

Prima di tutto si controlla che le probabilità sommino a $1$: $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^{k+1}} = \frac14 + \frac18 + \cdots = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac12 \ne 1$$ Così com'è scritta non è una densità discreta (manca metà della probabilità). Le versioni corrette più naturali sono $P(X = k) = \frac{1}{2^{k+1}}$ per $k = 0, 1, 2, \dots$ oppure $P(X = k) = \frac1{2^k}$ per $k = 1, 2, \dots$ (cioè $X \sim \operatorname{Ge}\left(\frac12\right)$).

Con $P(X = k) = \frac{1}{2^k}$, $k \ge 1$: per $x < 1$ $F_X(x) = 0$; per $n \le x < n + 1$ ($n \ge 1$ intero) $$F_X(x) = \sum_{k=1}^n\frac1{2^k} = 1 - \frac1{2^n}$$ Una scala con gradini sempre più bassi: $F = \frac12$ su $[1, 2[$, $\frac34$ su $[2, 3[$, $\frac78$ su $[3, 4[$, …, che si avvicina a $1$ senza raggiungerlo.

3. Il numero di $6$ in due lanci

$X \sim B\left(2, \frac16\right)$ (somma di due Bernoulli indipendenti): $$p_X(0) = \left(\tfrac56\right)^2 = \tfrac{25}{36}, \qquad p_X(1) = 2\cdot\tfrac16\cdot\tfrac56 = \tfrac{10}{36}, \qquad p_X(2) = \tfrac1{36}$$ $$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{25}{36} & 0 \le x < 1 \\ \frac{35}{36} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases}$$ Un salto grande in $0$ (quasi il $70\%$), uno medio in $1$, uno piccolissimo in $2$.

4. $Y = 2X$ con $X \sim B(n, 0.5)$

$X$ assume i valori $0, 1, \dots, n$, quindi $Y = 2X$ assume i valori $0, 2, 4, \dots, 2n$: un insieme finito, quindi $Y$ è discreta. Siccome $y \mapsto \frac y2$ è biiettiva, $\{Y = 2k\} = \{X = k\}$ e $$p_Y(2k) = P(X = k) = \binom nk\frac{1}{2^n}, \quad k = 0, 1, \dots, n, \qquad p_Y(y) = 0 \text{ altrimenti}$$ Attenzione: $Y$ non è binomiale (assume valori pari fino a $2n$, non tutti gli interi tra $0$ e $2n$), e non è $B(2n, 0.5)$, che sarebbe la somma di due binomiali indipendenti: $2X = X + X$ è la somma di una variabile con sé stessa.

Errori comuni

• Non controllare che le probabilità sommino a $1$ (esercizio 2).
• Disegnare $F$ come una spezzata continua: per una variabile discreta è a gradini, continua a destra (il valore nel punto di salto è quello "alto").
• Confondere $2X$ con $X_1 + X_2$ (somma di due copie indipendenti).