Esercizio 42probabilità condizionata e formula del prodotto

Testo.

1. (Lezione 3 di probabilità.) Dado truccato: facce $1, 3, 6$ con probabilità $\frac1{12}$, facce $2, 4, 5$ con probabilità $\frac14$. Esce un numero pari. Qual è la probabilità che si tratti del $2$ o del $6$?
2. (Lezione 3.) Se un aereo è presente in una data area, il radar individua la sua presenza con probabilità $0.99$. Se l'aereo non è presente invece il radar individua la sua presenza con probabilità $0.1$. Un aereo è presente in quell'area con probabilità $0.05$. (1) Qual è la probabilità di un falso allarme (non c'è l'aereo e il radar individua la sua presenza)? (2) Qual è la probabilità di una mancata rilevazione del radar (c'è l'aereo ma il radar non lo vede)?
3. (Lezione 3.) Le $52$ carte di un mazzo vengono distribuite ai giocatori N, W, E, S. Determinare la probabilità che ciascun giocatore abbia un Re, in due modi diversi: a) con la probabilità uniforme, b) con la probabilità condizionata.
4. (Appello 3, a.a. 2017/18.) Un'azienda produce tablet. La probabilità che un tablet prodotto abbia il difetto S (schermo) ma non il difetto T (tastiera) è $0.1$; la probabilità che abbia entrambi i difetti S e T è $0.2$; sapendo che un tablet non ha il difetto T, la probabilità che abbia il difetto S è $0.125$. (a) Calcolare la probabilità che il tablet abbia il difetto S; (b) calcolare la probabilità che il tablet abbia il difetto T; (c) calcolare la probabilità che il tablet abbia il difetto T sapendo che non ha il difetto S.

Teoria: Probabilità condizionata e formula del prodottoLa probabilità di E condizionata a F (con P(F) > 0) è P(E | F) = P(E ∩ F)/P(F): la probabilità di E "sapendo che F si è realizzato". E ↦ P(E | F) è a sua volta una probabilità; se P è uniforme, P(· | F) è uniforme su F. Ne seguono P(E ∩ F) = P(E | F) P(F) e la formula del prodotto P(A₁⋯Aₙ) = P(A₁) P(A₂ | A₁) P(A₃ | A₁A₂) ⋯ P(Aₙ | A₁⋯Aₙ₋₁), utile per le estrazioni successive.Probabilità condizionata e formula del prodotto →.

1. Il dado truccato

$P(\text{pari}) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac14 + \frac14 + \frac1{12} = \frac{7}{12}$; l'evento "$2$ o $6$" è già contenuto nei pari, quindi l'intersezione è $\{2, 6\}$ con probabilità $\frac14 + \frac1{12} = \frac13$: $$P(\{2, 6\} \mid \text{pari}) = \frac{P(\{2, 6\})}{P(\text{pari})} = \frac{1/3}{7/12} = \frac{4}{7} \approx 0.571$$ Con un dado onesto sarebbe $\frac23$: il $6$ "pesa poco" e abbassa la probabilità.

2. Il radar

Siano $A$ = "aereo presente" e $R$ = "il radar segnala". Dati: $P(R \mid A) = 0.99$, $P(R \mid A^c) = 0.1$, $P(A) = 0.05$.

(1) Falso allarme = $R \cap A^c$: $$P(R \cap A^c) = P(R \mid A^c)\,P(A^c) = 0.1\cdot 0.95 = 0.095$$

(2) Mancata rilevazione = $R^c \cap A$. Per $P(\cdot \mid A)$, che è una probabilità, $P(R^c \mid A) = 1 - 0.99 = 0.01$: $$P(R^c \cap A) = 0.01\cdot 0.05 = 0.0005$$

3. Un re per giocatore

b) Con la formula del prodotto. Si seguono i quattro re uno alla volta, guardando in quale delle $52$ posizioni (13 per giocatore) finiscono. Sia $A_k$ = "i primi $k$ re sono da giocatori diversi".

• Il primo re è da qualcuno: nessun vincolo.
• Il secondo re è in una delle $51$ posizioni rimaste, e deve stare in una delle $39$ dei tre giocatori senza re: $P(A_2) = \frac{39}{51}$.
• Il terzo, dato $A_2$, in una delle $26$ posizioni dei due giocatori senza re, tra le $50$ rimaste: $P(A_3 \mid A_2) = \frac{26}{50}$.
• Il quarto, dato $A_3$, nelle $13$ dell'ultimo giocatore tra le $49$ rimaste: $\frac{13}{49}$. $$P = \frac{39}{51}\cdot\frac{26}{50}\cdot\frac{13}{49} = \frac{2197}{20825} \approx 0.1055$$

a) Con la probabilità uniforme. Una distribuzione è una $4$-spartizione delle $52$ carte in mani da $13$: sono $\frac{52!}{(13!)^4}$, equiprobabili. Favorevoli: si assegnano i re (uno per giocatore, $4!$ modi) e poi le altre $48$ carte, $12$ per giocatore: $\frac{48!}{(12!)^4}$. Quindi $$P = \frac{4!\cdot\frac{48!}{(12!)^4}}{\frac{52!}{(13!)^4}} = \frac{4!\,48!\,(13!)^4}{52!\,(12!)^4} = \frac{24\cdot 13^4}{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49} = \frac{2197}{20825}$$ (con $\frac{13!}{12!} = 13$): lo stesso risultato ✓ (verificato con Python con frazioni esatte).

4. I difetti dei tablet

Dati: $P(S \cap T^c) = 0.1$, $P(S \cap T) = 0.2$, $P(S \mid T^c) = 0.125$.

(a) $S$ è l'unione disgiunta di $S \cap T$ e $S \cap T^c$: $$P(S) = 0.2 + 0.1 = 0.3$$

(b) Da $P(S \mid T^c) = \frac{P(S \cap T^c)}{P(T^c)}$ si ricava $P(T^c) = \frac{0.1}{0.125} = 0.8$, quindi $$P(T) = 1 - 0.8 = 0.2$$

(c) $P(T \cap S^c) = P(T) - P(T \cap S) = 0.2 - 0.2 = 0$, quindi $$P(T \mid S^c) = \frac{0}{0.7} = 0$$ Interpretazione: tutti i tablet con il difetto alla tastiera hanno anche quello allo schermo ($P(T \cap S) = P(T)$, cioè $T \subseteq S$ a meno di eventi di probabilità nulla): se lo schermo è a posto, lo è anche la tastiera.

Errori comuni

• Nel radar, confondere $P(R \cap A^c)$ (falso allarme) con $P(R \mid A^c)$: la domanda chiede che "non ci sia l'aereo e il radar segnali".
• Nei re, dimenticare che a ogni passo le posizioni disponibili diminuiscono (formula del prodotto, non potenze).