Lezione 18Variabile normale e teorema centrale del limite

Modulo: Probabilità, Lezione 8 ("Variabile normale e Teorema Centrale del Limite"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Variabili normali standard: integrale di Gauss e normalizzazione; densità e funzione $\Phi$; uso della tabella ($\Phi(0.65)$, $\Phi(-0.53)$); $P(|Z| \le 2)$, $P(|Z| \le 3)$; media $0$ e varianza $1$.
2. Unità 2 - Le variabili normali: $X = \mu + \sigma Z$; calcoli standardizzando ($N(10, 36)$, $N(1, 2)$); densità; simmetria; significato dei parametri (regola 68-95-99.7).
3. Unità 3 - Il teorema centrale del limite: altezze e pesi degli studenti; variabili i.i.d.; somma standardizzata; enunciato.
4. Unità 4 - Approssimazione di somme di v.a. i.i.d.: dado lanciato 12 000 volte; varchi aeroportuali; somma di numeri a caso; lanci per arrivare a 300; l'indipendenza è necessaria; approssimazione normale di binomiale e Poisson; biblioteca, parcheggio, telefonate.
5. Unità 5 - Correzione di continuità: motivazione; binomiale e Poisson; un milione di lanci; il $6$ tra 1998 e 2005 volte; 508 teste su 1000.

Teoria

• Variabili aleatorie normali (gaussiane)Z ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →
• Teorema centrale del limite e correzione di continuitàSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →

Esercizi

• Esercizio 54 · calcoli con la normale e tolleranze — appelli 2017/18 e 2018/19, Ripassi 3.32-3.34
• Esercizio 55 · somme di variabili indipendenti e teorema centrale del limite — appelli 2014-2019, esempio della lezione, Ripassi 3.37, 3.40, 3.41, 3.43, 3.46
• Esercizio 56 · approssimazione normale di binomiali e Poisson — compitino 2015, appello 2014/15, Ripassi 3.36, 3.38, 3.39, 3.42, 3.44