Esercizio 27campi irrotazionali sul piano bucato

Testo.

1. (Lezione 5, esercizio 7.) Si consideri il campo vettoriale $F(x, y) = \left(\dfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \dfrac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)$. (i) Calcolare $\int_\gamma F\cdot d\gamma$, dove $\gamma$ è il circolo positivamente orientato di centro l'origine e raggio $1$; (ii) dire se $F$ è irrotazionale; (iii) dire se $F$ è conservativo sul semipiano $y > 0$, determinarne una primitiva in caso affermativo; (iv) il campo $F$ è conservativo?
2. (Ripassi 1.19.) Si consideri il campo definito su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ da $\vec F(x, y) = \left(\dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)$. (a) Provare che $\vec F$ è irrotazionale; (b) senza provare a calcolarlo, dire se esiste una primitiva $U$ di $\vec F$ sul semipiano $y > 0$; (c) senza provare a calcolarlo, dire se esiste una primitiva $U$ di $\vec F$ su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$: perché? (d) Calcolare una primitiva di $\vec F$ sul più grande dei due domini precedenti sul quale esso esiste. (e) Sia $\alpha$ il cammino $\alpha(t) = (\sin t + 2, \cos^2 t)$, $t \in [0, \pi/2]$. Calcolare $\int_\alpha\vec F\cdot d\alpha$.
3. (Lezione 5, esercizio 8; Ripassi 1.21.) Si consideri il campo vettoriale $F(x, y) = \left(\dfrac{Ax + By}{x^2 + y^2},\ \dfrac{Cx + Dy}{x^2 + y^2}\right)$ con $A, B, C, D \in \mathbb{R}$, definito su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. (i) Dire sotto quali condizioni su $A, B, C, D$ il campo $F$ è irrotazionale. (ii) Sia $\gamma$ il circolo unitario orientato positivamente (in senso antiorario). Dire sotto quali condizioni su $A, B, C, D$ l'integrale $\int_\gamma F\cdot d\gamma = 0$. (iii) Nelle condizioni trovate in (i) e (ii), mostrare che in realtà il campo è conservativo esibendone una primitiva.

Teoria: Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali → (paragrafo "Il piano bucato").

Il criterio per il piano bucato: un campo $C^1$ irrotazionale su $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ è conservativo se e solo se la circuitazione su un cerchio attorno all'origine è nulla. Sui domini semplicemente connessi (come un semipiano che non contiene l'origine) irrotazionale basta.

1. $\left(\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)$

(i) Circuitazione. Sul cerchio $(\cos t, \sin t)$ si ha $x^2 + y^2 = 1$, quindi $F = (\sin^2 t - \cos^2 t,\ -2\sin t\cos t) = (-\cos 2t,\ -\sin 2t)$, e con $\gamma' = (-\sin t, \cos t)$: $$F\cdot\gamma' = \cos 2t\sin t - \sin 2t\cos t = -\sin(2t - t) = -\sin t$$ (formula di sottrazione $\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$). Quindi $\oint_\gamma F\cdot d\gamma = \int_0^{2\pi}-\sin t\,dt = 0$.

(ii) Irrotazionale. Con $s = x^2 + y^2$: $$\partial_y F_1 = \frac{2y\,s^2 - (y^2 - x^2)\cdot 2s\cdot 2y}{s^4} = \frac{2y\,s - 4y(y^2 - x^2)}{s^3} = \frac{2y(3x^2 - y^2)}{s^3}$$ $$\partial_x F_2 = \frac{-2y\,s^2 + 2xy\cdot 2s\cdot 2x}{s^4} = \frac{-2y\,s + 8x^2y}{s^3} = \frac{2y(3x^2 - y^2)}{s^3}$$ Uguali: irrotazionale.

(iii) Semipiano $y > 0$: è convesso, quindi semplicemente connesso, e $F$ è irrotazionale: conservativo. Primitiva: si nota che $$\partial_x\frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2) - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = F_1, \qquad \partial_y\frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} = F_2$$ quindi $U(x, y) = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$ (a meno di costanti). Con le integrazioni parziali: $\int F_2\,dy = \int\frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}dy = \frac{x}{x^2 + y^2} + \varphi(x)$, e imponendo $\partial_x U = F_1$ si trova $\varphi' = 0$.

(iv) La primitiva $U = \frac{x}{x^2 + y^2}$ è definita e $C^1$ su tutto $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, non solo sul semipiano: $F$ è conservativo sul suo intero dominio. Coerente con (i): circuitazione nulla.

2. $\left(\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)$

È l'opposto del campo dell'esercizio 1.

(a) Irrotazionale, perché lo è il campo dell'esercizio 1 (le derivate cambiano tutte di segno).

(b) Sì: il semipiano $y > 0$ è semplicemente connesso e il campo è $C^1$ e irrotazionale.

(c) Il dominio $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ ha un buco, quindi l'irrotazionalità non basta; per il criterio del piano bucato bisogna controllare la circuitazione su un cerchio attorno all'origine. Sul cerchio unitario $\vec F = (\cos 2t, \sin 2t)$ e $\vec F\cdot\gamma' = -\cos 2t\sin t + \sin 2t\cos t = \sin t$, con integrale nullo su $[0, 2\pi]$. Quindi sì, esiste una primitiva su tutto $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$.

(d) Dall'esercizio 1, $U(x, y) = -\dfrac{x}{x^2 + y^2}$ su $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$.

(e) $\alpha(0) = (\sin 0 + 2,\ \cos^2 0) = (2, 1)$ e $\alpha\left(\frac\pi2\right) = (3, 0)$; il cammino non passa per l'origine. Quindi $$\int_\alpha\vec F\cdot d\alpha = U(3, 0) - U(2, 1) = -\frac39 + \frac25 = -\frac13 + \frac25 = \frac{1}{15}$$

3. $\left(\frac{Ax + By}{x^2 + y^2},\ \frac{Cx + Dy}{x^2 + y^2}\right)$

(i) Irrotazionalità. Con $s = x^2 + y^2$: $$\partial_y F_1 = \frac{B\,s - 2y(Ax + By)}{s^2} = \frac{Bx^2 - By^2 - 2Axy}{s^2}, \qquad \partial_x F_2 = \frac{C\,s - 2x(Cx + Dy)}{s^2} = \frac{-Cx^2 + Cy^2 - 2Dxy}{s^2}$$ Uguaglianza per ogni $(x, y)$: confrontando i coefficienti di $x^2$, $y^2$, $xy$ si ottiene $B = -C$ (da $x^2$ e da $y^2$) e $A = D$ (da $xy$). Irrotazionale $\iff A = D$ e $B = -C$.

(ii) Circuitazione sul cerchio unitario. Con $(\cos t, \sin t)$ e $s = 1$: $$F\cdot\gamma' = -(A\cos t + B\sin t)\sin t + (C\cos t + D\sin t)\cos t = -B\sin^2 t + C\cos^2 t + (D - A)\sin t\cos t$$ Integrando su $[0, 2\pi]$ ($\int\sin^2 = \int\cos^2 = \pi$, $\int\sin t\cos t = 0$): $$\oint_\gamma F\cdot d\gamma = \pi\,(C - B)$$ Nulla $\iff C = B$.

(iii) Con entrambe le condizioni: $B = -C$ e $C = B$ danno $B = C = 0$, e $A = D$. Il campo è $$F(x, y) = A\,\frac{(x, y)}{x^2 + y^2} = \frac{A}{|x|}\,\frac{x}{|x|}$$ radiale con $g(r) = \frac Ar$, quindi una primitiva è $G(|x|) = A\log|x|$: $$U(x, y) = \frac A2\log(x^2 + y^2)$$ definita su tutto $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$: il campo è conservativo.

Il caso escluso. Con $A = D$, $B = -C \ne 0$ il campo è irrotazionale ma ha circuitazione $2\pi C \ne 0$: è (un multiplo del) vortice più un campo radiale. È esattamente la situazione in cui il criterio del piano bucato serve.

Errori comuni

• Concludere dal dominio bucato che il campo non può essere conservativo: il buco impedisce di usare il teorema, non rende il campo non conservativo (esercizi 1 e 2).
• Sbagliare la derivata del quoziente con il quadrato al denominatore: conviene raccogliere $s = x^2 + y^2$.