Esercizio 14un limite infinito e i cerchi di Apollonio

Testo (Lezione 2, esercizi 5 e 6). Sia $f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(-1, 0)\} \to \mathbb{R}$ definita ponendo $$f(x, y) = \frac{(x - 1)^2 + y^2}{(x + 1)^2 + y^2}, \qquad (x, y) \ne (-1, 0)$$

1. Studiare il limite di $f$ in $(-1, 0)$.
2. Determinare, al variare di $c \in \mathbb{R}$, gli insiemi di livello $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(-1, 0)\} : f(x, y) = c\}$.

Teoria: Limiti e continuità in più variabiliIl limite di f : D ⊆ Rⁿ → R in un punto di accumulazione p si definisce come in una variabile, con la norma: ∀ε ∃δ, 0 < |x − p| ≤ δ, x ∈ D ⇒ |f(x) − ℓ| ≤ ε. Valgono permanenza del segno, algebra dei limiti e carabinieri. f è continua in p se il limite è f(p): polinomi e composizioni di funzioni continue lo sono. Con f continua, {f < c} è aperto e {f ≤ c} è chiuso. Gli sviluppi asintotici di una variabile si usano se l'argomento tende a 0 (es. sin(x³y) ~ x³y).Limiti e continuità in più variabili →, Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livelloUna funzione di più variabili è f : D ⊆ Rⁿ → R. Il grafico è {(x, f(x))} ⊂ Rⁿ⁺¹ (per n = 2 una superficie). Per visualizzarla: metodo delle sezioni (si fissa una variabile e si disegna la funzione dell'altra) e insiemi di livello Z_c = {f = c} (le curve di livello delle carte topografiche). Le funzioni radiali f(x) = h(|x|) dipendono solo dalla distanza dall'origine: hanno grafico di rotazione e livelli che sono cerchi.Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livello →.

Il significato di $f$

Il numeratore $(x - 1)^2 + y^2$ è il quadrato della distanza del punto $P = (x, y)$ da $A = (1, 0)$; il denominatore è il quadrato della distanza da $B = (-1, 0)$: $$f(P) = \frac{|P - A|^2}{|P - B|^2}$$ $f$ è sempre $\ge 0$, vale $0$ solo in $A$, ed esplode vicino a $B$, dove il denominatore si annulla.

1. Il limite in $(-1, 0)$

• Numeratore: è un polinomio, continuo, e in $(-1, 0)$ vale $(-2)^2 + 0 = 4$. Quindi tende a $4$.
• Denominatore: tende a $0$ ed è positivo (somma di quadrati, nulla solo in $(-1, 0)$, che è escluso). Quindi tende a $0^+$.

Per l'algebra dei limiti ($\frac{c}{0^+} = +\infty$ con $c > 0$): $$\lim_{(x,y) \to (-1,0)}f(x, y) = +\infty$$

Con la definizione, per sicurezza: se $|(x, y) - (-1, 0)| = \rho \le 1$, allora la distanza da $A$ è almeno $|A - B| - \rho = 2 - \rho \ge 1$ (disuguaglianza triangolare), quindi $f \ge \frac{1}{\rho^2}$. Dato $M > 0$, basta $\rho \le \min\{1, \frac{1}{\sqrt M}\}$ per avere $f \ge M$.

Sull'asse $x$ la funzione è $\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$:

2. Gli insiemi di livello

Si risolve $f(x, y) = c$ distinguendo i valori di $c$.

$c < 0$: $f \ge 0$ sempre, quindi l'insieme di livello è vuoto.

$c = 0$: serve numeratore nullo, $(x - 1)^2 + y^2 = 0$, cioè il solo punto $\{(1, 0)\}$.

$c > 0$: si moltiplica per il denominatore (positivo, quindi l'equazione è equivalente): $$(x - 1)^2 + y^2 = c\big[(x + 1)^2 + y^2\big]$$ Sviluppando: $x^2 - 2x + 1 + y^2 = c\,x^2 + 2c\,x + c + c\,y^2$, e portando tutto a sinistra $$(1 - c)\,x^2 + (1 - c)\,y^2 - 2(1 + c)\,x + (1 - c) = 0$$

• $c = 1$: i termini di secondo grado spariscono e resta $-4x = 0$, cioè la retta $x = 0$ (l'asse $y$): i punti equidistanti da $A$ e da $B$, l'asse del segmento $AB$.
• $c > 0$, $c \ne 1$: si divide per $1 - c \ne 0$: $$x^2 + y^2 - 2\,\frac{1 + c}{1 - c}\,x + 1 = 0$$ È un cerchio. Completando il quadrato con $a = \frac{1 + c}{1 - c}$: $(x - a)^2 + y^2 = a^2 - 1$, e $$a^2 - 1 = \frac{(1 + c)^2 - (1 - c)^2}{(1 - c)^2} = \frac{4c}{(1 - c)^2} > 0$$ Quindi il livello $c$ è il cerchio di centro $\left(\frac{1 + c}{1 - c},\ 0\right)$ e raggio $\frac{2\sqrt c}{|1 - c|}$.

Esempio numerico ($c = \frac14$): centro $\left(\frac{5/4}{3/4}, 0\right) = \left(\frac53, 0\right)$, raggio $\frac{2\cdot\frac12}{3/4} = \frac43$. Il cerchio taglia l'asse $x$ in $\frac53 \pm \frac43$, cioè in $\frac13$ e $3$. Controllo: $f(\frac13, 0) = \frac{(2/3)^2}{(4/3)^2} = \frac14$ ✓ e $f(3, 0) = \frac{4}{16} = \frac14$ ✓.

Il quadro complessivo. Per $0 < c < 1$ i centri $a > 1$ stanno a destra e i cerchi circondano $A = (1, 0)$; per $c \to 0^+$ si stringono su $A$. Per $c > 1$ i centri $a = \frac{1+c}{1-c} < -1$ stanno a sinistra e i cerchi circondano $B = (-1, 0)$; per $c \to +\infty$ si stringono su $B$. A separare le due famiglie c'è la retta $x = 0$ ($c = 1$). Il punto $B$ non appartiene a nessun livello (è fuori dal dominio).

Sono i cerchi di Apollonio: il luogo dei punti il cui rapporto delle distanze da due punti fissi è costante ($\frac{|P - A|}{|P - B|} = \sqrt c$).

Errori comuni

• Dividere per $1 - c$ senza aver trattato a parte $c = 1$.
• Dimenticare che il denominatore tende a $0^+$ (non a $0$ di segno qualsiasi): è il segno a dare $+\infty$ e non "il limite non esiste".