Lezione 19Variabili aleatorie congiunte

Modulo: Probabilità, Lezione 9 ("Variabili congiunte"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Variabili congiunte discrete: densità congiunta; i cinque punti; due dadi; densità marginali; le marginali non determinano la congiunta; valore atteso di $g(X, Y)$.
2. Unità 2 - Indipendenza di variabili congiunte discrete: criterio del prodotto delle marginali; esempi con covarianza.
3. Unità 3 - Variabili congiunte continue: il bersaglio circolare; densità congiunta; uniforme su un insieme; la densità costante sul triangolo.
4. Unità 4 - Densità marginali e valore atteso: marginali come integrali; $cx^2y$ sul quadrato; uniforme sull'ellisse; attenzione agli insiemi dove le densità sono nulle; $E[g(X, Y)]$, covarianza (uniforme sul disco), $\operatorname{Var}[X + Y]$.
5. Unità 5 - Indipendenza di variabili continue: criterio del prodotto; il sostegno deve essere un prodotto cartesiano; esempi; i terremoti in Grecia e California; l'ago di Buffon.

Teoria

• Variabili aleatorie congiunte discreteUna variabile congiunta discreta è una coppia (X, Y) di v.a. discrete; la densità congiunta è p_{X,Y}(a,b) = P(X = a, Y = b). Le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile: pₓ(a) = Σ_y p_{X,Y}(a,y). Le marginali NON determinano la congiunta. X e Y sono indipendenti se e solo se p_{X,Y}(a,b) = pₓ(a) p_Y(b) per ogni (a,b). E[g(X,Y)] = Σ g(x,y) p_{X,Y}(x,y); in particolare E[XY] e Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y].Variabili aleatorie congiunte discrete →
• Variabili aleatorie congiunte continue(X, Y) è congiunta continua se esiste f_{X,Y} ≥ 0 con P((X,Y) ∈ A) = ∫∫A f{X,Y} dx dy e integrale totale 1 (le probabilità si calcolano con gli integrali doppi). Uniforme su C: densità 1/Area(C) su C. Marginali: fₓ(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy, f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx, nulle fuori dalle proiezioni del sostegno. E[g(X,Y)] = ∫∫ g f_{X,Y}. X, Y indipendenti ⇔ f_{X,Y}(x,y) = fₓ(x) f_Y(y); allora il sostegno è un rettangolo (prodotto cartesiano): un sostegno triangolare o circolare esclude l'indipendenza. Covarianza nulla non implica indipendenza (uniforme sul disco).Variabili aleatorie congiunte continue →

Esercizi

• Esercizio 57 · variabili congiunte discrete dai Ripassi — Ripassi 3.47-3.51
• Esercizio 58 · densità congiunte continue dai Ripassi — Ripassi 3.52-3.60
• Esercizio 59 · densità congiunte continue dagli appelli — compitino 2015 e appelli 2014-2019
• Esercizio 60 · coppie di variabili indipendenti e incontri casuali — appelli 2014/15, 2015/16, 2016/17, 2017/18