Esercizio 39mani di poker, caffè a caso e la foto del matrimonio

Testo.

1. (Lezione 2 di probabilità.) (a) Quante mani di $5$ carte si possono formare utilizzando un mazzo di $52$ carte? (b) Determinare la probabilità che una mano di $5$ carte abbia tre carte Rosse. (c) Determinare la probabilità che una mano di $5$ carte contenga esattamente due assi. (d) Determinare la probabilità che una mano di $5$ carte NON abbia assi.
2. (Appello 4, 5 settembre 2017.) Ad una festa ci sono $14$ ragazze e $6$ ragazzi. In $10$ chiedono un caffè. In realtà i caffè vengono distribuiti a caso: qual è la probabilità che essi vengano dati tutti solo a delle ragazze?
3. (Appello 4, a.a. 2018/19.) Dobbiamo disporre $20$ invitati ad un matrimonio ed i due sposi in fila per la foto di gruppo. I due sposi devono stare vicini tra loro, ma non ai margini della foto (ovvero non possono essere né i primi due né gli ultimi due della fila). In quanti modi possiamo disporli? (Spiegare bene i principi di combinatoria utilizzati, non solo il risultato.)

Teoria: Probabilità uniforme su uno spazio finitoSu uno spazio campionario finito Ω con esiti equiprobabili la probabilità uniforme è P(A) = |A|/|Ω| (casi favorevoli su casi possibili); equivalentemente P({ω}) = 1/|Ω| per ogni esito. Gli eventi sono i sottoinsiemi di Ω. Proprietà: P(∅) = 0, P(Ω) = 1, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), P(Aᶜ) = 1 − P(A). Scegliere Ω in modo che gli esiti siano davvero equiprobabili è una scelta di modello, non di matematica (dado con facce ripetute, somma di due dadi, paradosso dei compleanni).Probabilità uniforme su uno spazio finito →, Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammin! conta le permutazioni di n oggetti; le k-sequenze senza ripetizione di Iₙ sono n!/(n−k)!. Principio di divisione: se ogni elemento di Y corrisponde a esattamente m elementi di X, |Y| = |X|/m. Da qui i k-sottoinsiemi di Iₙ sono C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) (ogni insieme viene da k! sequenze). Anagrammi di una parola con k₁, …, kₙ ripetizioni: k!/(k₁!⋯kₙ!). Procedura: strutture ordinate → sequenze e PM; non ordinate → insiemi o principio di divisione; contare solo alla fine. Stirling: n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ.Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammi →.

1. Mani di poker

(a) Una mano è un sottoinsieme di $5$ carte (l'ordine non conta): $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$. Tutte le mani sono equiprobabili (mazzo ben mescolato): si usa la probabilità uniforme su questo spazio.

(b) Esattamente tre rosse. Il mazzo ha $26$ rosse e $26$ nere. Si scelgono le $3$ rosse ($\binom{26}3 = 2600$ modi) e le $2$ nere ($\binom{26}2 = 325$); la mano determina le due scelte: $$P = \frac{\binom{26}{3}\binom{26}{2}}{\binom{52}{5}} = \frac{845\,000}{2\,598\,960} \approx 0.325$$

(c) Esattamente due assi. $2$ assi tra $4$ e $3$ carte tra le $48$ non assi: $$P = \frac{\binom42\binom{48}3}{\binom{52}5} = \frac{6\cdot 17\,296}{2\,598\,960} \approx 0.040$$

(d) Nessun asso. Tutte e $5$ le carte tra le $48$ non assi: $$P = \frac{\binom{48}5}{\binom{52}5} = \frac{1\,712\,304}{2\,598\,960} \approx 0.659$$ Quindi "almeno un asso" ha probabilità $1 - 0.659 \approx 0.341$.

Questi conteggi (scegliere $k$ elementi "buoni" tra $K$ e gli altri tra i rimanenti) si chiamano ipergeometrici: torneranno con le estrazioni senza reimmissioneIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →.

2. I caffè alle ragazze

Spazio campionario. Distribuire $10$ caffè a caso tra $20$ persone (ognuna al più uno) significa scegliere a caso l'insieme dei $10$ che lo ricevono: $|\Omega| = \binom{20}{10} = 184\,756$, esiti equiprobabili.

Favorevoli: i $10$ caffè vanno tutti a ragazze, cioè si sceglie un sottoinsieme di $10$ tra le $14$ ragazze: $\binom{14}{10} = \binom{14}{4} = 1001$. $$P = \frac{\binom{14}{10}}{\binom{20}{10}} = \frac{1001}{184\,756} \approx 0.0054$$ Circa $1$ su $185$: se succedesse davvero, sarebbe ragionevole sospettare che la distribuzione non sia casuale.

Con il modello ordinato (i caffè dati uno alla volta): $\frac{14\cdot 13\cdots 5}{20\cdot 19\cdots 11}$, che è lo stesso numero (numeratore e denominatore moltiplicati per $10!$).

3. La foto del matrimonio

Ci sono $22$ persone in fila (posizioni $1, \dots, 22$). Si conta in tre fasi, controllando che la disposizione finale determini gli esiti di ciascuna (così vale il principio di moltiplicazione):

1. Le due posizioni consecutive degli sposi. Le coppie di posizioni adiacenti sono $(1,2), (2,3), \dots, (21, 22)$: $21$. Il testo esclude i primi due posti $(1, 2)$ e gli ultimi due $(21, 22)$: restano $19$ coppie.
2. L'ordine degli sposi nella coppia di posizioni (sposa a sinistra o a destra): $2$.
3. Gli invitati nei $20$ posti rimasti: tutte le permutazioni, $20!$.

$$19\cdot 2\cdot 20! = 38\cdot 20! \approx 9.24\cdot 10^{19}$$

Un'altra lettura del testo. Se si intende che nessuno dei due sposi può occupare le posizioni $1, 2, 21, 22$, le coppie ammesse sono $(3, 4), \dots, (19, 20)$, cioè $17$, e il totale è $34\cdot 20!$. Il metodo è lo stesso; all'esame conviene dichiarare l'interpretazione scelta.

Errori comuni

• Contare le mani in modo ordinato al numeratore e non ordinato al denominatore.
• Nella foto, dimenticare l'ordine dei due sposi (fattore $2$).
• Nei caffè, usare $\left(\frac{14}{20}\right)^{10}$: sarebbe giusto con reimmissione (la stessa persona potrebbe ricevere più caffè), non qui.