Esercizio 5stimare una posizione con la retta tangente

Testo.

1. (Esercizi per venerdì, settimana 1, foglio 5.) La posizione di una particella nel piano è descritta da una curva derivabile $f : [1, 2] \to \mathbb{R}^2$. Si conoscono le sue posizioni agli istanti $1 + \frac1n$, $n = 1, 2, 3, \dots$, e si sa che $f(1) = (1, 2)$ e $$f\left(1 + \frac1n\right) = \left(1 + \frac2n + \frac1{n^2},\ 2 - \frac1n + \frac3{n^2}\right)$$ Potresti stimare la posizione della particella all'istante $1 + \frac1{\pi^2}$ utilizzando l'approssimazione con la retta tangente alla curva nel punto $1$?
2. (Lezione 1, esercizio 2.) Sia $f : [0, 1] \to \mathbb{R}^2$ derivabile, con $f(0) = (2, 5)$ e $f'(0) = (-2, 3)$. Usando la nozione di approssimazione con la retta tangente fornire un valore approssimato di $f(0.1)$.

Teoria: Derivata di una curva e retta tangenteLa derivata di f : I → Rⁿ è f'(t₀) = lim (f(t) − f(t₀))/(t − t₀) e si calcola componente per componente. Se f'(t₀) ≠ 0 è il vettore tangente (la velocità) e la retta tangente è f(t₀) + λ f'(t₀). Curva regolare: f' ≠ 0 ovunque. Approssimazione al prim'ordine: f(t) ≈ f(t₀) + f'(t₀)(t − t₀). Regole: linearità, prodotto per una funzione, (f·g)' = f'·g + f·g', catena (f∘u)' = f'(u) u'. Se |r(t)| è costante, r e r' sono ortogonali.Derivata di una curva e retta tangente →.

1. La particella

Che cosa serve

L'approssimazione al prim'ordinePer t vicino a t₀, f(t) ≈ f(t₀) + f'(t₀)(t − t₀): si prosegue in linea retta con la velocità dell'istante t₀. in $t_0 = 1$ dice $$f(t) \approx f(1) + f'(1)\,(t - 1)$$ Conosciamo $f(1) = (1, 2)$, ma non conosciamo $f'(1)$: va ricavata dai dati.

Calcolo di $f'(1)$ dai dati discreti

$f$ è derivabile in $1$, quindi il limite del rapporto incrementale $$f'(1) = \lim_{t \to 1}\frac{f(t) - f(1)}{t - 1}$$ esiste. Se un limite esiste, lo si può calcolare lungo qualunque successione $t_n \to 1$ (è il teorema pontelim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →). Scegliamo proprio gli istanti noti, $t_n = 1 + \frac1n \to 1$, per cui $t_n - 1 = \frac1n$: $$\frac{f(t_n) - f(1)}{1/n} = n\left(\frac2n + \frac1{n^2},\ -\frac1n + \frac3{n^2}\right) = \left(2 + \frac1n,\ -1 + \frac3n\right) \xrightarrow[n \to \infty]{} (2, -1)$$ Quindi $f'(1) = (2, -1)$.

Perché è lecito. Non conosciamo $f$ negli altri istanti, ma sappiamo che la derivata esiste (ipotesi del testo), e allora il suo valore è determinato dal comportamento lungo la successione $t_n$. Senza l'ipotesi di derivabilità questo ragionamento non basterebbe: un limite lungo una successione non garantisce il limite della funzione.

La stima

Con $t = 1 + \frac1{\pi^2}$, cioè $t - 1 = \frac1{\pi^2} \approx 0.1013$: $$f\left(1 + \frac1{\pi^2}\right) \approx (1, 2) + (2, -1)\cdot\frac1{\pi^2} = \left(1 + \frac2{\pi^2},\ 2 - \frac1{\pi^2}\right) \approx (1.203,\ 1.899)$$

Osservazione. L'istante $1 + \frac1{\pi^2}$ non è della forma $1 + \frac1n$ ($\pi^2$ non è intero), per questo la posizione esatta non è tra i dati e serve un'approssimazione. Se la curva fosse proprio $f(1 + h) = (1 + 2h + h^2,\ 2 - h + 3h^2)$ per ogni $h$, il valore esatto sarebbe $\approx (1.213, 1.930)$: l'errore della stima è dell'ordine di $h^2 \approx 0.01$, come ci si aspetta da un'approssimazione al prim'ordine.

2. Stima di $f(0.1)$

$$f(0.1) \approx f(0) + f'(0)\cdot(0.1 - 0) = (2, 5) + 0.1\,(-2, 3) = (2 - 0.2,\ 5 + 0.3) = (1.8,\ 5.3)$$

Geometricamente $(1.8, 5.3)$ è il punto della retta tangente $\{(2, 5) + \lambda(-2, 3)\}$ con $\lambda = 0.1$.

Errori comuni

• Usare $f(2) = f(1 + \frac11)$ al posto della derivata: la velocità media su $[1, 2]$, cioè $f(2) - f(1) = (3, 2)$, non è la velocità istantanea in $1$.
• Dimenticare di moltiplicare per $n$ nel rapporto incrementale (dividere per $\frac1n$ equivale a moltiplicare per $n$).