Esercizio 3curva intersezione di una sfera e di un cilindro

Testo (Esercizi per venerdì, settimana 1, foglio 3). L'insieme $M = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 4,\ x^2 - 2x + y^2 = 0\}$ è il sostegno di una curva? Quale?

Teoria: Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →.

Riconoscere le due superfici

• $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ è la sfera di centro l'origine e raggio $2$.
• $x^2 - 2x + y^2 = 0$: la $z$ non compare, quindi è un cilindroInsieme definito da un'equazione in x e y soltanto: la z è libera, e la figura è un cerchio fatto scorrere lungo l'asse z. con asse verticale. Completando il quadratoSi scrive x² − 2x come (x − 1)² − 1, aggiungendo e togliendo il numero che rende x² − 2x un quadrato perfetto. in $x$: $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$, quindi $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$ è il cilindro di raggio $1$ il cui asse passa per $(1, 0, 0)$.

Il cilindro tocca l'asse $z$ (il suo cerchio di base passa per l'origine) ed è tangente internamente alla sfera nel punto $(2, 0, 0)$. L'intersezione è una curva famosa, la finestra di Viviani.

La parametrizzazione

Passo 1: il cerchio in $(x, y)$. $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ si parametrizza con $$x = 1 + \cos t, \qquad y = \sin t$$

Passo 2: ricavare $z$ dalla sfera. $z^2 = 4 - x^2 - y^2$. Calcoliamo $$x^2 + y^2 = (1 + \cos t)^2 + \sin^2 t = 1 + 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2 + 2\cos t$$ quindi $$z^2 = 4 - 2 - 2\cos t = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\frac t2$$ usando la formula $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$. Da qui $z = \pm 2\sin\frac t2$.

Passo 3: un'unica curva per entrambi i segni. Per ogni punto del cerchio ci sono due valori di $z$ (sopra e sotto il piano $xy$), tranne dove $\sin\frac t2 = 0$. Il trucco è far variare $t$ in $[0, 4\pi]$ e prendere $z = 2\sin\frac t2$:

• per $t \in [0, 2\pi]$, $\frac t2 \in [0, \pi]$ e $\sin\frac t2 \ge 0$: si percorre il cerchio una volta con $z \ge 0$ (metà superiore);
• per $t \in [2\pi, 4\pi]$, $\frac t2 \in [\pi, 2\pi]$ e $\sin\frac t2 \le 0$: si ripercorre il cerchio (in $x, y$) con $z \le 0$ (metà inferiore).

Risposta: $M$ è il sostegno della curva $$f(t) = \left(1 + \cos t,\ \sin t,\ 2\sin\frac t2\right), \qquad t \in [0, 4\pi]$$

Verifica. Sfera: $x^2 + y^2 + z^2 = (2 + 2\cos t) + 4\sin^2\frac t2 = 2 + 2\cos t + 2(1 - \cos t) = 4$ ✓. Cilindro: $(x - 1)^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ ✓ (verificato anche con Python).

Proprietà della curva

• Chiusa: $f(0) = (2, 0, 0) = f(4\pi)$.
• Non semplice: passa per $(2, 0, 0)$ anche a $t = 2\pi$ (dove $z = 2\sin\pi = 0$). In quel punto i due rami (superiore e inferiore) si incrociano: il sostegno ha la forma di un "otto" disegnato sulla sfera.
• Non ci sono altre autointersezioni: per $t \ne t'$ con lo stesso punto $(x, y)$ serve $t' = t + 2\pi$, e allora $z' = 2\sin(\frac t2 + \pi) = -z$, uguale a $z$ solo se $z = 0$.

Errori comuni

• Prendere solo $z = 2\sin\frac t2$ con $t \in [0, 2\pi]$: si ottiene solo la metà superiore di $M$.
• Scrivere $z = \pm\sqrt{2 - 2\cos t}$ come "una curva": una curva è una funzione, quindi a ogni $t$ deve corrispondere un solo punto. Il $\pm$ va eliminato, come sopra, allungando l'intervallo.