Lezione 16Valore atteso e varianza

Modulo: Probabilità, Lezione 6 (valore atteso e varianza di variabili discrete), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Valore atteso di una variabile discreta: la media dei voti; definizione; analogia con il baricentro; valori attesi di Bernoulli, Poisson e geometrica (il primo $5$ con un dado).
2. Unità 2 - Valori attesi di composte: $E[g(X)]$; $E[aX + b]$ e l'assicurazione; valore atteso di una somma e della binomiale; i cappelli; funzioni di più variabili; prodotto di variabili indipendenti.
3. Unità 3 - Varianza: definizione, deviazione standard, varianza di costanti e Bernoulli; formula alternativa; $\operatorname{Var}[aX + b]$; variabile normalizzata; varianze di geometrica e Poisson.
4. Unità 4 - Covarianza e varianza di somme: covarianza e formula alternativa; estrazioni senza reimmissione; variabili indipendenti hanno covarianza nulla ma non viceversa; indicatrici; varianza di una somma; varianza della binomiale; i cappelli.

Teoria

• Valore atteso di variabili discreteIl valore atteso di una v.a. discreta è la media dei valori pesata con le probabilità, E[X] = Σ xₖ P(X = xₖ) (se la serie converge assolutamente): il "baricentro" della distribuzione. Valori notevoli: Be(p) → p, B(n,p) → np, Po(λ) → λ, Ge(p) → 1/p. Per le composte E[g(X)] = Σ g(x) pₓ(x), senza cercare la legge di g(X); linearità E[aX + b] = aE[X] + b e E[X₁ + ⋯ + Xₘ] = Σ E[Xᵢ] sempre (anche senza indipendenza: i cappelli); E[XY] = E[X]E[Y] se X, Y sono indipendenti.Valore atteso di variabili discrete →
• Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →

Esercizi

• Esercizio 51 · valori attesi, varianze e i cappelli — esempi della lezione, Ripassi 3.46 e 3.48