Esercizio 37equazioni differenziali esatte

Testo (Lezione 10, esercizi 1 e 2 sulle equazioni differenziali esatte).

1. Provare che l'equazione differenziale $y' = -\dfrac{2ty^2 + 4}{2(t^2y - 3)}$ è esatta; determinare la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(-1) = 8$.
2. Provare che l'equazione differenziale $y' = \dfrac{\frac{2ty}{t^2 + 1} - 2t}{2 - \log(t^2 + 1)}$ è esatta; determinare la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(5) = 0$.

Teoria: Equazioni differenziali esatteUn'equazione M(t,y) + N(t,y) y' = 0 è esatta se il campo (M, N) è conservativo, cioè ha una primitiva U con ∂_t U = M, ∂_y U = N; allora lungo ogni soluzione d/dt U(t, y(t)) = M + N y' = 0, e le soluzioni sono date implicitamente da U(t, y) = c (curve di livello di U). Su un dominio semplicemente connesso basta la condizione ∂_y M = ∂_t N. Si trova U con le integrazioni parziali, si fissa c con la condizione iniziale e si ricava y, scegliendo il ramo e l'intervallo massimale (dove N ≠ 0).Equazioni differenziali esatte →, Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →.

Il metodo: scrivere l'equazione come $M(t, y) + N(t, y)\,y' = 0$; verificare $\partial_y M = \partial_t N$; trovare $U$ con $\partial_t U = M$, $\partial_y U = N$; le soluzioni soddisfano $U(t, y(t)) = c$.

1. $y' = -\frac{2ty^2 + 4}{2(t^2y - 3)}$, $y(-1) = 8$

È l'esempio svolto nella teoria; riassumendo:

• forma esatta: $(2ty^2 + 4) + (2t^2y - 6)\,y' = 0$, cioè $M = 2ty^2 + 4$, $N = 2t^2y - 6$;
• verifica: $\partial_y M = 4ty$, $\partial_t N = 4ty$ su tutto $\mathbb{R}^2$, che è semplicemente connesso: il campo $(M, N)$ è conservativo, l'equazione è esatta;
• primitiva: $U = t^2y^2 + 4t - 6y$ (verifica: $\partial_t U = 2ty^2 + 4$ ✓, $\partial_y U = 2t^2y - 6$ ✓);
• costante: $U(-1, 8) = 64 - 4 - 48 = 12$;
• soluzione esplicita (equazione di secondo grado in $y$, ramo con il $+$ scelto dal dato): $$y(t) = \frac{3 + \sqrt{9 + 12t^2 - 4t^3}}{t^2}, \qquad t \in\, ]-\infty, 0[$$

Verifica (Python): sostituendo nell'equazione si ottiene un'identità, e $y(-1) = 3 + 5 = 8$ ✓.

2. $y' = \frac{\frac{2ty}{t^2 + 1} - 2t}{2 - \log(t^2 + 1)}$, $y(5) = 0$

Forma esatta. Moltiplicando per il denominatore e portando tutto a sinistra: $$\underbrace{\left(2t - \frac{2ty}{t^2 + 1}\right)}_{M} + \underbrace{\big(2 - \log(t^2 + 1)\big)}_{N}\,y' = 0$$

Verifica. $$\partial_y M = -\frac{2t}{t^2 + 1}, \qquad \partial_t N = -\frac{2t}{t^2 + 1}$$ uguali su tutto $\mathbb{R}^2$: esatta.

Primitiva. Conviene partire da $N$, che non dipende da $y$: $U = \int N\,dy = \big(2 - \log(t^2 + 1)\big)y + \varphi(t)$. Poi $$\partial_t U = -\frac{2ty}{t^2 + 1} + \varphi'(t) = M = 2t - \frac{2ty}{t^2 + 1} \Rightarrow \varphi'(t) = 2t \Rightarrow \varphi = t^2$$ $$U(t, y) = \big(2 - \log(1 + t^2)\big)\,y + t^2$$

Costante: $U(5, 0) = 0 + 25 = 25$.

Soluzione. Ora $U = c$ è lineare in $y$, e si risolve subito: $$y(t) = \frac{25 - t^2}{2 - \log(1 + t^2)}$$

Intervallo massimale. Serve $N = 2 - \log(1 + t^2) \ne 0$, cioè $1 + t^2 \ne e^2$, cioè $|t| \ne \sqrt{e^2 - 1} \approx 2.528$. L'intervallo che contiene $t_0 = 5$ è $$\left]\sqrt{e^2 - 1},\ +\infty\right[$$ (avvicinandosi a $\sqrt{e^2 - 1}$ da destra il denominatore tende a $0^-$ e il numeratore a $25 - (e^2 - 1) > 0$: la soluzione va a $-\infty$).

Osservazione. L'equazione si poteva vedere anche come lineare: $y' = \frac{2t}{(t^2 + 1)(2 - \log(t^2 + 1))}\,y - \frac{2t}{2 - \log(t^2 + 1)}$. Il metodo delle equazioni esatte evita il calcolo del fattore integrante.

Errori comuni

• Confondere $M$ e $N$ (il coefficiente di $y'$ è $N$ e va con $\partial_y U$).
• Dimenticare di escludere i punti con $N = 0$ dall'intervallo massimale.