Lunghezza di una curva

Lezione 1 di analisi, Unità 4. Prerequisiti: Derivata di una curva e retta tangenteLa derivata di f : I → Rⁿ è f'(t₀) = lim (f(t) − f(t₀))/(t − t₀) e si calcola componente per componente. Se f'(t₀) ≠ 0 è il vettore tangente (la velocità) e la retta tangente è f(t₀) + λ f'(t₀). Curva regolare: f' ≠ 0 ovunque. Approssimazione al prim'ordine: f(t) ≈ f(t₀) + f'(t₀)(t − t₀). Regole: linearità, prodotto per una funzione, (f·g)' = f'·g + f·g', catena (f∘u)' = f'(u) u'. Se |r(t)| è costante, r e r' sono ortogonali.Derivata di una curva e retta tangente →, Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →.

L'idea: approssimare con poligonali

Con un righello si può misurare solo la lunghezza di segmenti. Per misurare una curva si segnano su di essa alcuni punti e li si unisce con segmenti: la poligonale inscritta è più corta della curva (in linea retta si fa prima), ma aggiungendo punti si avvicina sempre di più. La lunghezza della curva è il "limite" di queste approssimazioni, e siccome aggiungere punti allunga sempre la poligonale, si prende l'estremo superiore.

Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ una curva. Per ogni suddivisione $\pi = \{a = t_0 < t_1 < \cdots < t_{m+1} = b\}$ la poligonale che unisce $f(t_0), f(t_1), \dots, f(t_{m+1})$ ha lunghezza $$V_f(\pi) := \sum_{i=0}^{m} |f(t_{i+1}) - f(t_i)|$$

Definizione. La curva $f$ è rettificabile se $$L(f) := \sup_{\pi} V_f(\pi)$$ (al variare di tutte le suddivisioni di $[a, b]$) è finito. Il numero $L(f)$ è la lunghezza di $f$.

Richiamo: le somme di Riemann

Definizione. Data $g : [a, b] \to \mathbb{R}$ continua e una suddivisione $a = t_0 < \cdots < t_{m+1} = b$, la somma di Riemann associata è $$\sum_{i=0}^{m} g(t_{i+1})\,(t_{i+1} - t_i)$$ Proposizione. Quando il passo della suddivisione (la massima ampiezza $t_{i+1} - t_i$) tende a $0$, le somme di Riemann tendono a $\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt$.

Ogni addendo è l'area di un rettangolo di base $t_{i+1} - t_i$ e altezza $g(t_{i+1})$: la somma approssima l'area sotto il grafico.

Esempio del prof. $\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m}$. Si riconosce una somma di Riemann di $g(x) = e^x$ su $[0, 1]$ con la suddivisione in $m$ parti uguali: $t_i = \frac im$, ampiezza $t_{i+1} - t_i = \frac1m$, e $g(t_{i+1}) = e^{(i+1)/m}$. Il passo $\frac1m \to 0$, quindi $$\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m} = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718$$ (con $m = 1000$ la somma vale $1.7191$). Altri esempi nell'Esercizio 11 · limiti di somme di Riemann.

La formula per le curve $C^1$

Teorema. Se $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ è di classe $C^1$, allora $f$ è rettificabile e $$L(f) = \int_a^b |f'(t)|\,dt$$

Interpretazione: $|f'(t)|$ è la velocità scalare; integrandola nel tempo si ottiene lo spazio percorso. È la formula "spazio = velocità × tempo", applicata a intervallini piccoli in cui la velocità è quasi costante, e poi sommata.

Idea della dimostrazione (quella vista a lezione). Su ogni intervallino, per l'approssimazione al prim'ordine, $$f(t_{i+1}) - f(t_i) = f'(t_i)\,(t_{i+1} - t_i) + R_i$$ con un resto $R_i$ piccolo rispetto a $t_{i+1} - t_i$. Trascurando il resto, $$V_f(\pi) = \sum_i |f(t_{i+1}) - f(t_i)| \approx \sum_i |f'(t_i)|\,(t_{i+1} - t_i)$$ che è una somma di Riemann della funzione continua $|f'(t)| = \sqrt{f_1'(t)^2 + \cdots + f_n'(t)^2}$. Quando il passo tende a $0$ tende quindi a $\int_a^b |f'(t)|\,dt$ (la dimostrazione rigorosa controlla che i resti, sommati, tendono a $0$).

Attenzione: se la curva ripassa più volte sullo stesso tratto, la formula conta ogni passaggio: misura la strada percorsa, non la lunghezza del disegno.

Esempi

Elica cilindrica. $f(t) = (\cos t, \sin t, t)$, $t \in [0, 2\pi]$: gira attorno all'asse $z$ salendo. $f'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$ e $$|f'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad L = \int_0^{2\pi}\sqrt2\,dt = 2\pi\sqrt2$$ Controllo intuitivo: "srotolando" il cilindro di raggio $1$ su un piano, un giro di elica diventa l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti $2\pi$ (la circonferenza) e $2\pi$ (la salita): $\sqrt{(2\pi)^2 + (2\pi)^2} = 2\pi\sqrt2$ ✓.

Cerchio percorso $m$ volte. $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $t \in [0, 2m\pi]$ con $m \ge 1$ intero. $|f'(t)| = |(-R\sin t, R\cos t)| = R$, quindi $$L = \int_0^{2m\pi}R\,dt = 2\pi m R$$ $m$ volte la circonferenza, anche se il sostegno è sempre lo stesso cerchio.

Curve cartesiane: la lunghezza di un grafico

Per $f(t) = (t, h(t))$, $t \in [a, b]$, con $h \in C^1$: $f'(t) = (1, h'(t))$ e quindi $$L(f) = \int_a^b\sqrt{1 + h'(t)^2}\,dt$$

Esempio del prof. Lunghezza del grafico di $t^{3/2}$, $t \in [0, 1]$. Qui $h'(t) = \frac32 t^{1/2}$ e $h'(t)^2 = \frac94 t$: $$L = \int_0^1\sqrt{1 + \tfrac94 t}\,dt = \left[\frac{(1 + \frac94 t)^{3/2}}{\frac32\cdot\frac94}\right]_0^1 = \frac{8}{27}\left[\left(\tfrac{13}{4}\right)^{3/2} - 1\right] = \frac{13\sqrt{13} - 8}{27} \approx 1.440$$ (primitiva di $(1 + kt)^{1/2}$: $\frac{(1 + kt)^{3/2}}{\frac32 k}$, verificabile derivando; e $\left(\frac{13}4\right)^{3/2} = \frac{13\sqrt{13}}{8}$).

La lunghezza da indovinare. Quanto è lunga la curva $y = \cosh x$, $x \in [0, 1]$? A occhio, dal grafico, un po' più del segmento da $(0, 1)$ a $(1, \cosh 1)$, lungo $\sqrt{1 + (\cosh 1 - 1)^2} \approx 1.15$. Con la formula, usando $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (vedi Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →): $$L = \int_0^1\sqrt{1 + \sinh^2 x}\,dx = \int_0^1\cosh x\,dx = \sinh 1 \approx 1.175$$ La catenaria $\cosh$ è una delle poche curve la cui lunghezza si calcola così facilmente: la radice si semplifica.

Curve in coordinate polari

Una curva in coordinate polari è data da una funzione $\rho : [a, b] \to \mathbb{R}$: il punto all'istante $t$ ha angolo $t$ e distanza $\rho(t)$ dall'origine, $$f(t) = \rho(t)\,(\cos t, \sin t) = (\rho(t)\cos t,\ \rho(t)\sin t)$$ Per disegnarla si fa ruotare una semiretta attorno all'origine e si segna su di essa il punto a distanza $\rho(t)$.

Proposizione. Se $\rho \in C^1([a, b])$, la curva è rettificabile e $$L(f) = \int_a^b\sqrt{\rho'(t)^2 + \rho(t)^2}\,dt$$

Dimostrazione. Con la regola del prodotto, $$f'(t) = \big(\rho'\cos t - \rho\sin t,\ \rho'\sin t + \rho\cos t\big)$$ e sviluppando i quadrati $$|f'(t)|^2 = \rho'^2\cos^2 t - 2\rho\rho'\sin t\cos t + \rho^2\sin^2 t + \rho'^2\sin^2 t + 2\rho\rho'\sin t\cos t + \rho^2\cos^2 t = \rho'^2 + \rho^2$$ (i doppi prodotti si cancellano, e $\cos^2 + \sin^2 = 1$) ∎.

Interpretazione: la velocità ha due componenti perpendicolari, quella radiale $\rho'$ (allontanarsi dall'origine) e quella dovuta alla rotazione, $\rho$ (girando di un angolo $dt$ a distanza $\rho$ si percorre un arco $\rho\,dt$). Pitagora le combina.

Cardioide. $\rho(t) = a(1 + \cos t)$, $t \in [0, 2\pi]$, $a > 0$. È una curva a forma di cuore: parte da $(2a, 0)$ per $t = 0$, passa per $(0, a)$ a $t = \frac\pi2$ e arriva nell'origine a $t = \pi$, dove ha una punta. Con $\rho' = -a\sin t$: $$\rho^2 + \rho'^2 = a^2\big(1 + 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t\big) = 2a^2(1 + \cos t) = 4a^2\cos^2\tfrac t2$$ usando $1 + \cos t = 2\cos^2\frac t2$. Quindi $$L = \int_0^{2\pi}2a\left|\cos\tfrac t2\right|dt = 2a\cdot 4 = 8a$$ ($\int_0^{2\pi}|\cos\frac t2|\,dt$: con $u = \frac t2$ diventa $2\int_0^\pi|\cos u|\,du = 2\cdot 2 = 4$). Attenzione al modulo: $\sqrt{\cos^2\frac t2} = |\cos\frac t2|$, e per $t \in\, ]\pi, 2\pi]$ il coseno di $\frac t2$ è negativo. Dimenticarlo darebbe $0$.

Altri esempi del prof (spirale $\rho = e^t$, spirale di Archimede $\rho = \frac32 t$, cerchio $\rho = 5\cos t$) nell'Esercizio 9 · lunghezze di curve in coordinate polari.

Una curva continua ma non rettificabile

Non tutte le curve continue hanno lunghezza finita. Il prof costruisce la poligonale infinita che unisce i punti $$P_0 = (0, 0), \qquad P_n = \left(\sum_{k=1}^n\frac1{k^2},\ \sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}\right)$$ Entrambe le serieUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → convergono (la prima è armonica generalizzata con esponente $2$, la seconda è a segni alterni, per LeibnizPer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →), quindi i punti $P_n$ si accumulano verso un punto limite e la poligonale, percorsa in un tempo finito, è una curva continua. Però $$|P_n - P_{n-1}| = \left|\left(\frac1{n^2}, \frac{(-1)^n}{n}\right)\right| = \sqrt{\frac1{n^4} + \frac1{n^2}} \ge \frac1n$$ e la lunghezza totale è $L \ge \sum_{n \ge 1}\frac1n = +\infty$ (serie armonica). La curva zigzaga sempre più fitto senza "smettere di camminare": non è rettificabile. Non è $C^1$ (ha infiniti spigoli), per questo il teorema non si applica.

Errori comuni

• Dimenticare la radice: $L = \int|f'|$, e $|f'| = \sqrt{f_1'^2 + \cdots + f_n'^2}$, non $f_1' + \cdots + f_n'$.
• Dimenticare il modulo quando la radice si semplifica: $\sqrt{\cos^2 u} = |\cos u|$.
• Usare la lunghezza del sostegno invece di quella della curva quando il sostegno è percorso più volte.