Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea

Lezione 1 di analisi, Unità 5. Prerequisiti: Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.

L'esempio del prof: in auto da Padova a Roma. Si può descrivere il viaggio con il tempo (all'istante $t$ minuti sono in $f(t)$) oppure con i chilometri percorsi (dopo $s$ km sono in $g(s)$). Sono due parametrizzazioni dello stesso percorso, e il legame tra loro è $s = s(t)$, i km fatti fino al minuto $t$, cioè $f(t) = g(s(t))$. Il chilometraggio $s$ è l'ascissa curvilinea.

Parametrizzazioni equivalenti

Definizione. Due curve $f : I \to \mathbb{R}^n$ e $g : J \to \mathbb{R}^n$ ($I$, $J$ intervalli) sono equivalenti se esiste una biiezione $\varphi : I \to J$ di classe $C^1$ con $\varphi'(t) \ne 0$ per ogni $t$, tale che $$f(t) = g(\varphi(t)) \qquad \forall t \in I$$

Due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno e lo percorrono lo stesso numero di volte, magari con velocità diverse. Siccome $\varphi'$ è continua e mai nulla, ha segno costante (altrimenti per il teorema degli zeriTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → si annullerebbe): $\varphi$ è strettamente crescente (stesso verso di percorrenza) oppure strettamente decrescente (verso opposto).

Esempio. $f(t) = (\cos 2t, \sin 2t)$, $t \in [0, \pi]$ e $g(u) = (\cos u, \sin u)$, $u \in [0, 2\pi]$ sono equivalenti con $\varphi(t) = 2t$. Anche $h(t) = (\cos t, -\sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$, è equivalente a $g$ con $\varphi(t) = 2\pi - t$ (decrescente: $h$ gira in senso orario). Invece $(\cos t, \sin t)$ con $t \in [0, 4\pi]$ non è equivalente a $g$: percorre il cerchio due volte, e non esiste una biiezione tra i parametri che faccia coincidere le due curve.

Teorema. Se $f$ e $g$ sono parametrizzazioni equivalenti di classe $C^1$, allora $L(f) = L(g)$.

Dimostrazione (quella scritta a lezione). Sia $f = g \circ \varphi$ con $\varphi : [c, d] \to [a, b]$. Per la regola della catena $f'(u) = g'(\varphi(u))\,\varphi'(u)$, quindi $$L(f) = \int_c^d|f'(u)|\,du = \int_c^d|g'(\varphi(u))|\,|\varphi'(u)|\,du$$

• Se $\varphi' > 0$: $|\varphi'| = \varphi'$, $\varphi(c) = a$, $\varphi(d) = b$, e con la sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → $t = \varphi(u)$, $dt = \varphi'(u)\,du$: $$L(f) = \int_c^d|g'(\varphi(u))|\,\varphi'(u)\,du = \int_a^b|g'(t)|\,dt = L(g)$$
• Se $\varphi' < 0$: $|\varphi'| = -\varphi'$, ma ora $\varphi(c) = b$ e $\varphi(d) = a$ (gli estremi si scambiano): $$L(f) = -\int_c^d|g'(\varphi(u))|\,\varphi'(u)\,du = -\int_b^a|g'(t)|\,dt = \int_a^b|g'(t)|\,dt = L(g)$$ Il segno meno del modulo e lo scambio degli estremi si compensano ∎.

La lunghezza quindi non dipende né dalla velocità né dal verso di percorrenza: è una proprietà geometrica della curva.

L'ascissa curvilinea

Definizione. Data una curva $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$, l'ascissa curvilinea del punto $f(t)$ è la lunghezza dell'arco percorso da $a$ a $t$: $$s = \varphi(t) := L\big(f|_{[a, t]}\big), \qquad t \in [a, b]$$

Vale $\varphi(a) = 0$, $\varphi(b) = L(f)$ ed è crescente (più tempo passa, più strada si fa). Se $f$ è $C^1$, $$s = \varphi(t) = \int_a^t|f'(u)|\,du, \qquad \frac{ds}{dt} = |f'(t)|$$ dove la derivata viene dal teorema fondamentale del calcoloUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → (la funzione integrale di una continua ha come derivata l'integranda). In forma "differenziale" si scrive $$ds = |f'(t)|\,dt$$ una scrittura che tornerà negli integrali curvilineiL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →.

Riparametrizzare con la lunghezza d'arco

Se $f$ è $C^1$ e regolare ($f' \ne 0$), allora $\varphi'(t) = |f'(t)| > 0$: $\varphi : [a, b] \to [0, L_f]$ è una biiezione $C^1$ con derivata mai nulla, cioè un cambio di parametro ammissibile.

Definizione. La riparametrizzazione con la lunghezza d'arco di $f$ è $$g(s) = f(\varphi^{-1}(s)), \qquad s \in [0, L_f]$$

$g$ è equivalente a $f$ e percorre il sostegno a velocità costante $1$: per la regola della catena e la derivata dell'inversaDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →, $$|g'(s)| = |f'(t)|\cdot\frac{dt}{ds} = |f'(t)|\cdot\frac{1}{|f'(t)|} = 1$$ "Un km di strada per ogni unità di parametro".

Metodo in tre passi:

1. calcolare $s = \varphi(t) = \int_a^t|f'(u)|\,du$;
2. invertire: ricavare $t$ in funzione di $s$;
3. sostituire in $f$: $g(s) = f(t(s))$, con $s \in [0, L_f]$.

Esempio del prof (cerchio). $f(t) = R(\cos t, \sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$.

1. $|f'(t)| = R$, quindi $s = \int_0^t R\,du = Rt$.
2. $t = \frac sR$.
3. $g(s) = R\left(\cos\frac sR, \sin\frac sR\right)$, $s \in [0, 2\pi R]$.

Controllo: $g'(s) = \left(-\sin\frac sR, \cos\frac sR\right)$ ha norma $1$ ✓.

Esempi in cui il secondo passo richiede un logaritmo (spirale logaritmica, $3e^t(\cos t, \sin t)$) sono nell'Esercizio 10 · riparametrizzare con la lunghezza d'arco, e l'elica nell'Esercizio 8 · elica, pendenza costante e lunghezza d'arco.

Errori comuni

• Dimenticare di cambiare l'intervallo: il nuovo parametro $s$ va da $0$ a $L_f$, non da $a$ a $b$.
• Usare la lunghezza d'arco con una curva non regolare: se $f'$ si annulla, $\varphi$ non è più invertibile con inversa derivabile.
• Pensare che il verso conti per la lunghezza: non conta (conterà invece per gli integrali di campi vettoriali, vedi Integrale curvilineo di un campo vettorialeL'integrale di un campo F lungo un cammino r : [a,b] → D è ∫_r F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r'(t) dt: per un campo di forze è il lavoro. Si scrive anche ∫_r F·T ds (T versore tangente) o ∫_r F₁ dx₁ + … + Fₙ dxₙ (notazione "termodinamica"); su un circuito si parla di circuitazione ∮. È lineare, additivo per giustapposizione, e CAMBIA SEGNO invertendo il verso di percorrenza.Integrale curvilineo di un campo vettoriale →).