Esercizio 26campi conservativi e primitive

Testo.

1. (Lezione 5, esercizio 5.) Senza calcolarla, provare che esiste una funzione scalare $U \in C^1(\mathbb{R}^3, \mathbb{R})$ che ha per gradiente il campo $F(x, y, z) := (y\,e^z,\ x\,e^z + 2yz,\ xy\,e^z + y^2)$. Trovare poi tutte queste funzioni $U$.
2. (Lezione 5, esercizio 6.) Ricercare le costanti $\lambda \in \mathbb{R}$ tali che il campo su $\mathbb{R}^3$ dato da $F(x, y, z) = (\lambda y + z,\ \lambda x + z,\ \lambda x + y)$ sia conservativo, e per tali $\lambda$ trovarne le primitive.
3. (Lezione 5, Unità 5.) Dire se il campo $F(x, y, z) = (2x - yz\,e^{xz},\ -e^{xz},\ -xy\,e^{xz})$ è conservativo. Se lo è trovarne una primitiva.
4. (I compitino, 25 novembre 2014.) Sia $\vec F(x, y) = \left(\dfrac{y}{x^2} + \dfrac1y,\ -\left(\dfrac1x + \dfrac{x}{y^2}\right)\right)$ su $\{(x, y) : x > 0, y > 0\}$. Provare che $\vec F$ è conservativo e determinarne un potenziale $U$; calcolare poi l'integrale di $\vec F$ sulla curva $\alpha(t) = (e^{t^2}, 1 + t^4)$, $t \in [0, 1]$.
5. (Appello 3, a.a. 2017/18.) Dire se il campo $\vec F(x, y) = (3 + 2xy,\ x^2 - 3y^2)$ è conservativo su $\mathbb{R}^2$. Calcolare poi $\int_r\vec F\cdot dx$, dove $r(t) = (e^t\sin t,\ e^t\cos t)$, $t \in [0, \pi]$.
6. (Ripassi 1.20 e 1.22.) Dire se $\vec F(x, y, z) = \big(2x\,e^{y\sin z},\ (\sin z)\,x^2e^{y\sin z},\ x^2y(\cos z)\,e^{y\sin z} + 2\big)$ è conservativo, determinarne una primitiva in caso affermativo. Siano poi $\vec G(x, y) = (y\cos(xy),\ x\cos(xy) + 2)$ e $\gamma$ un cammino che congiunge $(0, 0)$ a $\left(\pi, \frac12\right)$: calcolare $\int_\gamma\vec G\cdot d\gamma$.
7. (Campi radiali, dagli appelli: 3/2015-16, 4/2016-17, 4/2017-18, 3/2018-19.) (a) Calcolare $\int_\gamma\nabla(1 + x^2yz)\cdot d\gamma$, dove $\gamma(t) = (e^t, \cos t, \sin t)$, $t \in [0, \pi]$. (b) Dire se $\vec F(x, y) = (x^2 + y^2)^7(x, y)$ è radiale e se è conservativo su $\mathbb{R}^2$. Calcolare $\int_r\vec F\cdot dx$, dove $r(t) = (\sin t, t)$, $t \in [0, \pi]$. (c) Il campo $\vec F(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^{8/9}(x, y, z)$ su $\mathbb{R}^3$ è radiale? È conservativo? Determinarne una primitiva in caso affermativo. (d) Sia $\vec F(x, y) = (x^2 + y^2)^4\dfrac{(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. Dire se è conservativo e determinarne una primitiva; calcolarne l'integrale lungo $\gamma(t) = (t^2 + 1, t + 3)$, $t \in [0, 1]$.

Teoria: Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →, Campi vettoriali, campi radiali e campi gradienteUn campo vettoriale è F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ (a ogni punto un vettore: velocità di un fluido, forza). Radiale: F(x) = g(|x|) x/|x| (diretto come il raggio, intensità dipendente solo dalla distanza), come i campi gravitazionale ed elettrico K x/|x|³. Gradiente: F = ∇U con U ∈ C¹ (U è una primitiva; in fisica il potenziale è −U); su un aperto connesso le primitive differiscono per una costante. Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva G(|x|) dove G' = g.Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente →.

Strategia: (1) derivate miste uguali? (2) dominio semplicemente connesso? → conservativo; (3) primitiva con le integrazioni parziali (o $G(|x|)$ se radiale); (4) integrale $= U(\text{fine}) - U(\text{inizio})$.

1. $(y\,e^z,\ x\,e^z + 2yz,\ xy\,e^z + y^2)$

Irrotazionale:

• $\partial_y F_1 = e^z$, $\partial_x F_2 = e^z$ ✓;
• $\partial_z F_1 = y\,e^z$, $\partial_x F_3 = y\,e^z$ ✓;
• $\partial_z F_2 = x\,e^z + 2y$, $\partial_y F_3 = x\,e^z + 2y$ ✓.

$F$ è $C^1$ e irrotazionale su $\mathbb{R}^3$, che è semplicemente connessoOgni circuito si può contrarre a un punto senza uscire dal dominio: vale per Rⁿ e per ogni insieme convesso.: per il teorema esiste $U$ con $\nabla U = F$, senza bisogno di calcolarla.

Integrazioni parziali.

1. $U = \int y\,e^z\,dx = xy\,e^z + \varphi(y, z)$.
2. $\partial_y U = x\,e^z + \partial_y\varphi = x\,e^z + 2yz \Rightarrow \partial_y\varphi = 2yz \Rightarrow \varphi = y^2z + \psi(z)$.
3. $\partial_z U = xy\,e^z + y^2 + \psi'(z) = xy\,e^z + y^2 \Rightarrow \psi' = 0 \Rightarrow \psi = c$.

Tutte le primitive: $U(x, y, z) = xy\,e^z + y^2z + c$, $c \in \mathbb{R}$ (sono tutte perché $\mathbb{R}^3$ è connesso).

2. $(\lambda y + z,\ \lambda x + z,\ \lambda x + y)$

Su $\mathbb{R}^3$ conservativo $\iff$ irrotazionale. Le tre condizioni:

• $\partial_y F_1 = \lambda = \partial_x F_2$: sempre vera;
• $\partial_z F_1 = 1$, $\partial_x F_3 = \lambda$: serve $\lambda = 1$;
• $\partial_z F_2 = 1 = \partial_y F_3$: sempre vera.

Solo $\lambda = 1$, con $F = (y + z,\ x + z,\ x + y)$. Primitiva: $U = \int(y + z)\,dx = xy + xz + \varphi(y, z)$; $\partial_y U = x + \partial_y\varphi = x + z \Rightarrow \varphi = yz + \psi(z)$; $\partial_z U = x + y + \psi' = x + y \Rightarrow \psi = c$. $$U = xy + yz + zx + c$$

3. $(2x - yz\,e^{xz},\ -e^{xz},\ -xy\,e^{xz})$

• $\partial_y F_1 = -z\,e^{xz}$, $\partial_x F_2 = -z\,e^{xz}$ ✓;
• $\partial_z F_1 = -y\,e^{xz} - xyz\,e^{xz}$, $\partial_x F_3 = -y\,e^{xz} - xyz\,e^{xz}$ ✓;
• $\partial_z F_2 = -x\,e^{xz}$, $\partial_y F_3 = -x\,e^{xz}$ ✓.

Irrotazionale su $\mathbb{R}^3$: conservativo. Conviene partire dalla componente più semplice, $F_2$: $U = \int -e^{xz}\,dy = -y\,e^{xz} + \varphi(x, z)$; $\partial_x U = -yz\,e^{xz} + \partial_x\varphi = 2x - yz\,e^{xz} \Rightarrow \varphi = x^2 + \psi(z)$; $\partial_z U = -xy\,e^{xz} + \psi' = -xy\,e^{xz} \Rightarrow \psi = c$. $$U = x^2 - y\,e^{xz} + c$$

4. Il compitino del 2014

Irrotazionale: $\partial_y F_1 = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$; $\partial_x F_2 = -\left(-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}\right) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$ ✓. Il dominio (primo quadrante aperto) è convesso, quindi semplicemente connesso: conservativo.

Potenziale. $U = \int\left(\frac{y}{x^2} + \frac1y\right)dx = -\frac yx + \frac xy + \varphi(y)$; $\partial_y U = -\frac1x - \frac{x}{y^2} + \varphi'(y) = F_2 \Rightarrow \varphi' = 0$. $$U(x, y) = \frac xy - \frac yx$$

Integrale. $\alpha(0) = (1, 1)$, $\alpha(1) = (e, 2)$: $$\int_\alpha\vec F\cdot d\alpha = U(e, 2) - U(1, 1) = \frac e2 - \frac2e - 0 = \frac e2 - \frac2e \approx 0.623$$ (risposta e). Calcolarlo direttamente sostituendo $\alpha(t)$ nel campo sarebbe stato molto più faticoso.

5. $(3 + 2xy,\ x^2 - 3y^2)$

$\partial_y F_1 = 2x = \partial_x F_2$ su $\mathbb{R}^2$: conservativo. $U = \int(3 + 2xy)\,dx = 3x + x^2y + \varphi(y)$, e $\partial_y U = x^2 + \varphi' = x^2 - 3y^2 \Rightarrow \varphi = -y^3$: $$U = 3x + x^2y - y^3$$ Estremi: $r(0) = (0, 1)$, $r(\pi) = (e^\pi\sin\pi,\ e^\pi\cos\pi) = (0, -e^\pi)$. $$\int_r\vec F\cdot dx = U(0, -e^\pi) - U(0, 1) = e^{3\pi} - (-1) = e^{3\pi} + 1$$

6. Ripassi 1.20 e 1.22

1.20. Si osserva che $F_1 = 2x\,e^{y\sin z} = \partial_x(x^2e^{y\sin z})$. Proviamo $U = x^2e^{y\sin z} + \varphi(y, z)$: $\partial_y U = x^2\sin z\,e^{y\sin z} + \partial_y\varphi = F_2 \Rightarrow \partial_y\varphi = 0$; $\partial_z U = x^2y\cos z\,e^{y\sin z} + \partial_z\varphi = F_3 \Rightarrow \partial_z\varphi = 2 \Rightarrow \varphi = 2z$. Si è trovata una primitiva su tutto $\mathbb{R}^3$, quindi il campo è conservativo (per questa strada non serve nemmeno verificare l'irrotazionalità): $$U = x^2e^{y\sin z} + 2z$$

1.22. $\vec G = (y\cos(xy),\ x\cos(xy) + 2) = \nabla\big(\sin(xy) + 2y\big)$ (verifica: $\partial_x\sin(xy) = y\cos(xy)$, $\partial_y[\sin(xy) + 2y] = x\cos(xy) + 2$). Qualunque sia il cammino: $$\int_\gamma\vec G\cdot d\gamma = \left[\sin(xy) + 2y\right]_{(0,0)}^{(\pi,\,1/2)} = \sin\frac\pi2 + 1 - 0 = 2$$

7. Campi gradiente e radiali dagli appelli

(a) È l'integrale di un gradiente: per il teorema fondamentale vale $U(\gamma(\pi)) - U(\gamma(0))$ con $U = 1 + x^2yz$. $\gamma(0) = (1, 1, 0)$ e $\gamma(\pi) = (e^\pi, -1, 0)$: in entrambi $z = 0$, quindi $U = 1$ e l'integrale è $0$.

(b) $\vec F = (x^2 + y^2)^7(x, y) = |x|^{14}\,x = |x|^{15}\frac{x}{|x|}$: radiale con $g(r) = r^{15}$, quindi gradiente con primitiva $G(|x|) = \frac{|x|^{16}}{16} = \frac{(x^2 + y^2)^8}{16}$, che è un polinomio: conservativo su tutto $\mathbb{R}^2$. Estremi: $r(0) = (0, 0)$, $r(\pi) = (0, \pi)$: $$\int_r\vec F\cdot dx = \frac{(\pi^2)^8}{16} - 0 = \frac{\pi^{16}}{16}$$

(c) $\vec F = |x|^{16/9}\,x = |x|^{25/9}\frac{x}{|x|}$: radiale con $g(r) = r^{25/9}$, $G(r) = \frac{9}{34}r^{34/9}$. Primitiva $$U(x, y, z) = \frac{9}{34}(x^2 + y^2 + z^2)^{17/9}$$ È $C^1$ anche nell'origine (il suo gradiente, cioè $\vec F$, è continuo e vale $0$ in $0$): conservativo su $\mathbb{R}^3$.

(d) $\vec F = |x|^8\frac{x}{|x|}$: radiale con $g(r) = r^8$, quindi conservativo, con primitiva $U = \frac{|x|^9}{9} = \frac{(x^2 + y^2)^{9/2}}{9}$. Estremi: $\gamma(0) = (1, 3)$ con $|x|^2 = 10$, $\gamma(1) = (2, 4)$ con $|x|^2 = 20$: $$\int_\gamma\vec F\cdot d\gamma = \frac{20^{9/2} - 10^{9/2}}{9} = \frac{10^{9/2}\,(2^{9/2} - 1)}{9} = \frac{10^4\sqrt{10}\,(16\sqrt2 - 1)}{9} \approx 7.60\cdot 10^4$$

Errori comuni

• Verificare solo una delle tre condizioni di irrotazionalità in $\mathbb{R}^3$.
• Calcolare gli integrali "a mano" quando il campo è conservativo: è lecito ma lungo e rischioso.
• Sbagliare l'esponente della $g$ nei campi radiali $|x|^k x$ (è $r^{k+1}$).