Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale

Lezione 5 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Variabili binomiale e geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →, Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → (il limite $(1 + \frac xn)^n \to e^x$).

Da dove viene: un limite della binomiale

Esempio del prof (il tram). In media $\lambda = 12\,000$ persone al giorno prendono il tram a Padova. Probabilità che in un dato giorno lo prendano esattamente $k = 10\,000$ persone? Un modello: ci sono $n$ abitanti, ognuno prende il tram con probabilità $\frac\lambda n$ (così il numero medio è $n\cdot\frac\lambda n = \lambda$), indipendentemente dagli altri. Il numero di passeggeri è $B\left(n, \frac\lambda n\right)$. Ma $n$ non lo conosciamo con precisione, ed è comunque grandissimo: conviene vedere cosa succede per $n \to \infty$.

$$p_n(k) = \binom nk\left(\frac\lambda n\right)^k\left(1 - \frac\lambda n\right)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}\cdot\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{\to 1}\cdot\underbrace{\left(1 - \frac\lambda n\right)^n}_{\to e^{-\lambda}}\cdot\underbrace{\left(1 - \frac\lambda n\right)^{-k}}_{\to 1}$$

• il secondo fattore è il prodotto di $k$ frazioni $\frac nn, \frac{n-1}n, \dots$, ciascuna tendente a $1$ ($k$ è fisso);
• il terzo è il limite notevole $\left(1 + \frac xn\right)^n \to e^x$ con $x = -\lambda$;
• il quarto ha esponente fisso e base che tende a $1$.

Quindi $p_n(k) \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$.

La definizione

Definizione. $X$ è di Poisson di parametro $\lambda > 0$, $X \sim \operatorname{Po}(\lambda)$, se $\operatorname{Im}X = \mathbb{N}$ e $$p_X(k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots$$

Controllo: $\sum_{k \ge 0}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1$ (serie esponenziale). Vedremo che $\lambda$ è il valore atteso (il numero medio di eventi), e anche la varianza.

Forma. Il prof mostra la densità di $\operatorname{Po}(10)$: una "campana" discreta con il massimo vicino a $\lambda$ (per $\lambda = 10$, in $k = 9$ e $k = 10$, che hanno la stessa probabilità $\approx 0.125$), leggermente asimmetrica a destra.

Esempio del prof. Le telefonate a un centralino in un'ora sono $\operatorname{Po}(30)$. Probabilità di esattamente $28$ telefonate: $e^{-30}\frac{30^{28}}{28!} \approx 0.070$ (calcolata con i logaritmi in Python: i singoli fattori sono enormi o minuscoli).

Usi tipici: numero di telefonate a un centralino, di passaggi a un casello, di terremoti in una zona, di difetti in un prodotto, in un dato intervallo di tempo (o di spazio); in generale, al posto di una binomiale quando il numero di prove è altissimo (e magari ignoto) e ognuna ha probabilità piccola di successo: eventi rari su molte occasioni.

L'approssimazione della binomiale

Proposizione. Se $X_n \sim B\left(n, \frac\lambda n\right)$, allora per ogni $k$: $\displaystyle\lim_{n \to \infty}P(X_n = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$.

In pratica: $X \sim B(n, p)$ si può approssimare con $Y \sim \operatorname{Po}(np)$ se $n$ è "grande" e $p$ "piccolo". Le regole indicative del corso sono $$n \ge 20, \qquad p \le 0.05, \qquad p \le \frac{10}{n}$$

Confronti mostrati dal prof: $B(200, 0.05)$ e $\operatorname{Po}(10)$ quasi coincidono; $B(50, 0.2)$ e $\operatorname{Po}(10)$ (stesso $np$, ma $p$ non piccolo) differiscono visibilmente; $B(50, 0.5)$ e $\operatorname{Po}(25)$ sono molto diverse (la binomiale è più stretta). Il motivo: la binomiale ha varianza $np(1 - p)$, la Poisson $np$; coincidono solo se $1 - p \approx 1$.

Esempi del prof (valori esatti e approssimati calcolati con Python):

• Lotterie. $10\,000$ biglietti in $10\,000$ lotterie diverse, in ognuna vince $1$ biglietto su $200$. Le vincite sono $X \sim B(10\,000, \frac1{200})$: $P(X = 48) \approx 0.05532$. Con $\operatorname{Po}(50)$: $e^{-50}\frac{50^{48}}{48!} \approx 0.05520$.
• Lenti a contatto. Difettose $2$ su $100$, confezioni da $80$: $X \sim B(80, 0.02)$, $P(X \ge 2) = 1 - 0.98^{80} - 80\cdot 0.02\cdot 0.98^{79} \approx 0.4770$. Con $\operatorname{Po}(1.6)$: $1 - e^{-1.6}(1 + 1.6) \approx 0.4751$.

Vantaggio pratico: la formula della Poisson non richiede coefficienti binomiali enormi né potenze di numeri vicini a $1$, e dipende da un solo parametro, il numero medio $np$.

Il seguito (somme di Poisson e processo di Poisson) è in Somma di Poisson indipendenti e processo di PoissonSe X ~ Po(λ) e Y ~ Po(μ) sono indipendenti, X + Y ~ Po(λ + μ). Un processo di Poisson di intensità λ (eventi per unità di tempo) è una famiglia {Xₜ} in cui Xₜ ~ Po(λt) conta gli eventi in [0, t], gli incrementi X_{t+τ} − Xₜ ~ Po(λτ) dipendono solo dalla lunghezza τ dell'intervallo, e incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti. Quindi il numero di eventi in un intervallo non dipende da quanti ne sono avvenuti prima; la probabilità di nessun evento in un tempo τ è e^{−λτ}.Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson →. Esercizi: Esercizio 50 · approssimazione di Poisson dagli appelli e dai Ripassi.

Errori comuni

• Usare la Poisson quando $p$ non è piccolo ($B(50, 0.5)$ non è vicina a $\operatorname{Po}(25)$).
• Sbagliare il parametro: è il numero medio $\lambda = np$, riferito allo stesso intervallo di cui si chiede la probabilità.
• Dimenticare il termine $k = 0$ nelle somme del tipo $P(X \le 2) = e^{-\lambda}\left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right)$.