Formula di Green e calcolo di aree

Lezione 9 di analisi (le slide non sono ancora disponibili: la nota segue gli esercizi 1.37-1.45 dei Ripassi 2025/26 e gli appelli). Prerequisiti: Integrale curvilineo di un campo vettorialeL'integrale di un campo F lungo un cammino r : [a,b] → D è ∫_r F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r'(t) dt: per un campo di forze è il lavoro. Si scrive anche ∫_r F·T ds (T versore tangente) o ∫_r F₁ dx₁ + … + Fₙ dxₙ (notazione "termodinamica"); su un circuito si parla di circuitazione ∮. È lineare, additivo per giustapposizione, e CAMBIA SEGNO invertendo il verso di percorrenza.Integrale curvilineo di un campo vettoriale →, Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →, Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →.

La domanda della presentazione del corso: si conosce il bordo di un lago (per esempio la legge oraria di chi lo percorre in barca): qual è la superficie del lago? La formula di Green risponde: l'area si ottiene con un integrale lungo il bordo.

Il bordo orientato positivamente

Sia $D$ un dominio limitato del piano il cui bordo $\partial D$ è formato da uno o più cammini chiusi. Il bordo orientato positivamente $\partial^+D$ è percorso in modo da lasciare $D$ alla propria sinistra: in senso antiorario sul bordo esterno, in senso orario sui bordi dei "buchi". Per un disco è il cerchio percorso in senso antiorario; per una corona circolare è il cerchio esterno in senso antiorario più quello interno in senso orario.

La formula

Teorema (formula di Green). Sia $D$ un dominio regolare del piano (unione finita di domini semplici rispetto a entrambi gli assi, con bordo $C^1$ a tratti) e $P, Q$ di classe $C^1$ su un aperto che contiene $\overline D$. Allora $$\oint_{\partial^+D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$$

A sinistra c'è la circuitazione del campo $F = (P, Q)$ lungo il bordo; a destra l'integrale della sua "rotazione" $\partial_xQ - \partial_yP$ (la terza componente del rotore) su tutta la regione.

Idea della dimostrazione (per il termine con $P$, su un dominio semplice rispetto a $x$, $D = \{a \le x \le b,\ \alpha(x) \le y \le \beta(x)\}$). Con la formula di riduzione e il teorema fondamentale: $$\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,dy = \int_a^b\big[P(x, \beta(x)) - P(x, \alpha(x))\big]dx$$ Il bordo positivo percorre il grafico di $\alpha$ da sinistra a destra (contributo $\int_a^bP(x, \alpha(x))\,dx$ a $\oint P\,dx$) e quello di $\beta$ da destra a sinistra (contributo $-\int_a^bP(x, \beta(x))\,dx$); sui lati verticali $dx = 0$. Quindi $\oint P\,dx = -\iint\partial_yP$. Allo stesso modo $\oint Q\,dy = \iint\partial_xQ$ ∎.

Conseguenza per i campi irrotazionali: se $\partial_xQ = \partial_yP$ su tutto $D$ (senza buchi in cui il campo non è definito), la circuitazione su $\partial^+D$ è nulla. Con i buchi la formula spiega il fenomeno visto per il vortice: la circuitazione sul bordo esterno è uguale alla somma di quelle attorno ai buchi (vedi Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →).

Esempio (Ripassi 1.37 e 1.41). $F = (0, x^3)$ sul bordo della corona $D = \{1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$.

• Con Green: $\partial_xQ - \partial_yP = 3x^2$, e in polari $\iint_D 3x^2 = 3\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\int_1^2\rho^3\,d\rho = 3\pi\cdot\frac{15}{4} = \frac{45\pi}{4}$.
• Direttamente: sul cerchio esterno $(2\cos t, 2\sin t)$ antiorario, $\int x^3\,dy = \int_0^{2\pi}8\cos^3t\cdot 2\cos t\,dt = 16\cdot\frac{3\pi}4 = 12\pi$; sul cerchio interno, percorso in senso orario, $-\int_0^{2\pi}\cos^4t\,dt = -\frac{3\pi}{4}$. Totale $12\pi - \frac{3\pi}4 = \frac{45\pi}4$ ✓.

Esempio (Ripassi 1.38). $\oint_\Gamma(y + e^{\sqrt x})\,dx + (2x + \cos y^2)\,dy$ sul bordo della regione tra le parabole $y = x^2$ e $x = y^2$. Le parti "difficili" ($e^{\sqrt x}$ dipende solo da $x$ nel coefficiente di $dx$, $\cos y^2$ solo da $y$ in quello di $dy$) spariscono derivando: $\partial_xQ - \partial_yP = 2 - 1 = 1$, e l'integrale è l'area della regione, $\int_0^1(\sqrt x - x^2)\,dx = \frac23 - \frac13 = \frac13$.

Il calcolo di aree

Scegliendo $P$, $Q$ con $\partial_xQ - \partial_yP = 1$:

$$\operatorname{Area}(D) = \oint_{\partial^+D}x\,dy = -\oint_{\partial^+D}y\,dx = \frac12\oint_{\partial^+D}(x\,dy - y\,dx)$$

Se il bordo è una curva chiusa semplice $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, $t \in [a, b]$, percorsa in senso antiorario: $\operatorname{Area} = \int_a^b x(t)\,y'(t)\,dt$. Se il verso è orario si ottiene l'opposto: in pratica si calcola e si prende il valore assoluto.

Esempi.

• L'astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ (Ripassi 1.43): $\int_0^{2\pi}\cos^3t\cdot 3\sin^2t\cos t\,dt = 3\int_0^{2\pi}\cos^4t\sin^2t\,dt = \frac{3\pi}{8}$.
• La curva $(\cos t, \sin^3t)$ (appello 3, 12 luglio 2017): $\int_0^{2\pi}\cos t\cdot 3\sin^2t\cos t\,dt = 3\int_0^{2\pi}\sin^2t\cos^2t\,dt = \frac{3\pi}{4}$.
• In coordinate polari il bordo è $\rho(t)(\cos t, \sin t)$ e $x\,dy - y\,dx = \rho^2\,dt$ (come nell'esercizio sulla spirale): si ritrova $\operatorname{Area} = \frac12\int\rho(t)^2\,dt$ delle coordinate polariCon x = ρ cos t, y = ρ sin t lo jacobiano è ρ: ∫D f dx dy = ∫E f(ρ cos t, ρ sin t) ρ dρ dt, con E la descrizione di D in (ρ,t). Conviene per dischi, corone, settori e funzioni radiali: ∫{B(0,R]} g(√(x²+y²)) = 2π ∫₀ᴿ g(ρ) ρ dρ. L'area della regione 0 ≤ ρ ≤ ρ(t), t ∈ [a,b] è ½ ∫ₐᵇ ρ(t)² dt. Esempi: ∫{B(0,R]} e^{x²+y²} = π(e^{R²} − 1); petalo (x²+y²)² ≤ 8xy di area 2.Integrali doppi in coordinate polari →.

Esercizi: Esercizio 63 · formula di Green e aree dai Ripassi e dagli appelli.

Errori comuni

• Sbagliare l'orientazione dei bordi dei buchi (vanno percorsi in senso orario).
• Invertire l'ordine nella differenza: è $\partial_xQ - \partial_yP$, non il contrario.
• Applicare Green quando il campo non è $C^1$ in qualche punto di $D$ (per esempio il vortice su un disco che contiene l'origine).