Lezione 06 — Integrali doppi

Modulo: Analisi, Lezione 6 ("Integrali doppi"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Integrali doppi sui rettangoli: volume del trapezoide e integrale di Riemann; integrali iterati e formula di riduzione; prodotto di funzioni di una variabile; proprietà.
2. Integrali su domini semplici: domini semplici rispetto a $x$ e a $y$, formule di riduzione, proiezioni e sezioni, domini semplici in entrambe le direzioni, scambio dell'ordine ($\sin y^2$, $e^{x^2}$), unioni di domini.
3. Cambiamento di variabili: perché cambiare variabili; matrice jacobiana; motivazione geometrica del determinante; formula del cambiamento; dilatazioni e applicazioni lineari; simmetrie; nuove coordinate in funzione delle vecchie; esercizi del 2023 (parallelogramma, iperboli).
4. Coordinate polari: jacobiano $\rho$; descrizione dei domini; funzioni radiali; aree in polari.
5. Integrali generalizzati: integrali iterati sul piano, criterio per le funzioni positive, integrale di Gauss, un esempio in cui scambiare l'ordine dà risultati diversi.

Teoria

• Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →
• Cambiamento di variabili negli integrali doppiSe φ : E → D, (u,v) ↦ (x,y), è biiettiva, C¹ e con det φ' ≠ 0, allora ∫_D f(x,y) dx dy = ∫_E f(φ(u,v)) |det φ'(u,v)| du dv: |det φ'| (lo jacobiano) misura di quanto φ dilata le aree. Si cambia variabile per semplificare il dominio (u = x + y, v = x − y trasformano un parallelogramma in un rettangolo) o la funzione. Se le nuove variabili sono date in funzione delle vecchie, (u,v) = ψ(x,y), si usa |det φ'| = 1/|det ψ'|. Simmetrie: f dispari in x su un dominio simmetrico rispetto all'asse y ha integrale nullo.Cambiamento di variabili negli integrali doppi →
• Integrali doppi in coordinate polariCon x = ρ cos t, y = ρ sin t lo jacobiano è ρ: ∫D f dx dy = ∫E f(ρ cos t, ρ sin t) ρ dρ dt, con E la descrizione di D in (ρ,t). Conviene per dischi, corone, settori e funzioni radiali: ∫{B(0,R]} g(√(x²+y²)) = 2π ∫₀ᴿ g(ρ) ρ dρ. L'area della regione 0 ≤ ρ ≤ ρ(t), t ∈ [a,b] è ½ ∫ₐᵇ ρ(t)² dt. Esempi: ∫{B(0,R]} e^{x²+y²} = π(e^{R²} − 1); petalo (x²+y²)² ≤ 8xy di area 2.Integrali doppi in coordinate polari →
• Integrali doppi generalizzati e integrale di GaussPer f ≥ 0 su domini illimitati (o con f illimitata) l'integrale doppio generalizzato si calcola con le formule di riduzione o con un cambio di variabili: se il risultato è finito, f è integrabile e l'integrale è quel valore (criterio per funzioni positive). Con f di segno variabile gli integrali iterati possono esistere finiti ma essere diversi. Integrale di Gauss: ∫_{−∞}^{+∞} e^{−t²} dt = √π, ottenuto integrando e^{−x²−y²} sul piano in due modi (riduzione: I²; polari: π).Integrali doppi generalizzati e integrale di Gauss →

Esercizi

• Esercizio 28 · integrali doppi su rettangoli e domini semplici — esempi delle Unità 1-3, esercizi 3 e 5 (Ripassi 1.27), baricentro
• Esercizio 29 · scambiare l'ordine di integrazione e aree — esercizi 1, 2, 4, 10 (Ripassi 1.23, 1.25, 1.26)
• Esercizio 30 · cambi di variabile lineari e non lineari — esercizi 6-9 (Ripassi 1.24, 1.28), esercizi del 2023, appelli del 2016 e del 2019
• Esercizio 31 · integrali doppi in coordinate polari — esercizi 12 e 13 (Ripassi 1.29), compitino 2014, appelli 2014/15 e 2015/16