Derivate direzionali e parziali

Lezione 3 di analisi, Unità 1. Prerequisiti: Limiti e continuità in più variabiliIl limite di f : D ⊆ Rⁿ → R in un punto di accumulazione p si definisce come in una variabile, con la norma: ∀ε ∃δ, 0 < |x − p| ≤ δ, x ∈ D ⇒ |f(x) − ℓ| ≤ ε. Valgono permanenza del segno, algebra dei limiti e carabinieri. f è continua in p se il limite è f(p): polinomi e composizioni di funzioni continue lo sono. Con f continua, {f < c} è aperto e {f ≤ c} è chiuso. Gli sviluppi asintotici di una variabile si usano se l'argomento tende a 0 (es. sin(x³y) ~ x³y).Limiti e continuità in più variabili →, Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →.

La passeggiata in montagna. Siamo nel punto $p = (p_1, p_2)$ di una montagna di quota $f(x, y)$. Se proseguiamo nella direzione $u$, quanto saliamo (o scendiamo) per ogni metro percorso? La risposta dipende dalla direzione: in una funzione di più variabili non c'è "la" derivata, ce n'è una per ogni direzione.

Derivata direzionale

Definizione. Siano $D \subseteq \mathbb{R}^n$, $p \in \operatorname{int}(D)$, $u \in \mathbb{R}^n$ e $f : D \to \mathbb{R}$. La derivata direzionale di $f$ in $p$ lungo $u$ è il limite, se esiste finito, $$D_u f(p) = \partial_u f(p) := \lim_{t \to 0}\frac{f(p + tu) - f(p)}{t}$$

Osservazione chiave. $D_u f(p)$ è la derivata in $t = 0$ della funzione di una variabile $$g(t) := f(p + tu)$$ che descrive i valori di $f$ lungo la retta che passa per $p$ con direzione $u$. Quindi si calcola con gli strumenti di Analisi 1: si scrive $g(t)$ e la si deriva in $t = 0$.

Si richiede $p$ interno perché $p + tu$ deve stare nel dominio per $t$ piccolo, sia positivo sia negativo. Se $u$ ha norma $1$, $D_u f(p)$ è la pendenza lungo quella direzione (quota guadagnata per unità di distanza percorsa); se $|u| \ne 1$ la pendenza va moltiplicata per $|u|$ (vedi sotto).

Esempio 1. $f(x, y) = x^2 + y^2$, $p = (p_1, p_2)$, $u = (u_1, u_2)$: $$g(t) = (p_1 + tu_1)^2 + (p_2 + tu_2)^2, \qquad g'(t) = 2u_1(p_1 + tu_1) + 2u_2(p_2 + tu_2)$$ $$D_u f(p) = g'(0) = 2p_1u_1 + 2p_2u_2 = 2\,p \cdot u$$

Esempio 2. $f(x, y) = x^2y$, $p = (3, 1)$: $g(t) = (3 + tu_1)^2(1 + tu_2)$ e, con la regola del prodotto, $$g'(0) = 2\cdot 3\,u_1\cdot 1 + 3^2\cdot u_2 = 6u_1 + 9u_2$$

Esempio 3: una funzione senza derivate direzionali. $f(x, y) = |(x, y)| = \sqrt{x^2 + y^2}$ in $p = (0, 0)$, con $u \ne 0$: $$\frac{f(tu) - f(0)}{t} = \frac{|t|\,|u|}{t} = \begin{cases} |u| & t > 0 \\ -|u| & t < 0 \end{cases}$$ I limiti destro e sinistro sono diversi: nessuna derivata direzionale esiste. Geometricamente: il grafico è un cono con la punta nell'origine, e su ogni retta per l'origine si vede un "$|t|$", con uno spigolo.

Tutte le derivate direzionali, ma non continua

Esempio 4 (del prof). $$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ Per $u = (u_1, u_2)$ con $u_2 \ne 0$: $$\frac{f(tu) - f(0)}{t} = \frac1t\cdot\frac{t^3u_1^2u_2}{t^4u_1^4 + t^2u_2^2} = \frac{u_1^2u_2}{t^2u_1^4 + u_2^2} \xrightarrow[t \to 0]{} \frac{u_1^2}{u_2}$$ e per $u_2 = 0$ la funzione vale $0$ su tutto l'asse $x$, quindi $D_u f(0,0) = 0$. Esistono tutte le derivate direzionali. Però $f$ non è continua nell'origine: sulla parabola $y = x^2$ vale $\frac12 \ne f(0,0)$ (vedi Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polariPer dimostrare che un limite NON esiste: si trovano due restrizioni (rette y = mx, parabole y = kx², …) con limiti diversi. Per dimostrare che ESISTE: stima uniforme |f(x) − ℓ| ≤ h(x) con h → 0 (utile |xy| ≤ (x² + y²)/2), oppure coordinate polari con una stima |f(p + ρ(cos t, sin t)) − ℓ| ≤ h(ρ) indipendente da t, oppure incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio. Il limite uguale su tutte le rette NON basta.Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari →).

La morale: le derivate direzionali guardano $f$ solo lungo le rette per $p$, ed è troppo poco per controllare il comportamento della funzione in tutte le direzioni contemporaneamente. Per questo servirà una nozione più forte, la differenziabilitàf è differenziabile in p se f(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) + R(x) con R(x)/|x − p| → 0: vicino a p il grafico è quasi il suo spazio tangente z = f(p) + ∇f(p)·(x − p) (per n = 2 il piano tangente). La funzione affine L(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) è la linearizzazione e serve per le stime (Δf ≈ ∇f·Δx). C¹ ⇒ differenziabile ⇒ continua e D_u f(p) = ∇f(p)·u per ogni u. Per verificare la differenziabilità in un punto: derivate parziali con la definizione, poi limite di [f(p+h) − f(p) − ∇f(p)·h]/|h|.Differenziabilità, piano tangente e linearizzazione →.

Derivate parziali

Definizione. La $i$-esima derivata parziale di $f$ in $p$ è, se esiste, la derivata direzionale lungo il vettore $e_i$ della base canonica ($e_1 = (1, 0, \dots, 0)$, ecc.): $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(p) = \partial_{x_i}f(p) = f_{x_i}(p) := D_{e_i}f(p)$$

Nel piano: $\partial_x f$ è la derivata lungo l'asse $x$ ($u = (1, 0)$), $\partial_y f$ lungo l'asse $y$ ($u = (0, 1)$).

Lo stratagemma per calcolarle. $\partial_{x_i}f(p)$ è la derivata della funzione di una variabile $$x_i \mapsto f(p_1, \dots, p_{i-1}, x_i, p_{i+1}, \dots, p_n) \quad \text{in } x_i = p_i$$ cioè si deriva rispetto a $x_i$ trattando le altre variabili come costanti. Infatti $f(p + te_i)$ cambia solo la $i$-esima coordinata, che vale $p_i + t$.

Esempio. $f(x, y) = x^2 + 2xy$.

• Con la definizione: $\frac{f(x + t, y) - f(x, y)}{t} = \frac{(x + t)^2 + 2(x + t)y - x^2 - 2xy}{t} = \frac{2xt + t^2 + 2ty}{t} = 2x + t + 2y \to 2x + 2y$.
• Con lo stratagemma ($y$ costante): $\partial_x f = 2x + 2y$, e ($x$ costante) $\partial_y f = 2x$.

Attenzione allo stratagemma nei punti "speciali". Per le funzioni definite a pezzi, nel punto in cui cambia la formula si usa la definizione.

Esempio del prof. $f(x, y) = 0$ se $x = 0$ o $y = 0$ (sugli assi), $f(x, y) = 2x + y$ altrimenti.

• $\partial_x f(0, 0)$: sull'asse $x$ la funzione vale $0$, quindi $\frac{f(t, 0) - f(0, 0)}{t} = 0 \to 0$. Analogamente $\partial_y f(0, 0) = 0$.
• $D_{(1,1)}f(0, 0)$: sulla bisettrice, per $t \ne 0$, $f(t, t) = 2t + t = 3t$, quindi $\frac{3t - 0}{t} = 3$.

Le derivate parziali sono nulle, ma la derivata lungo $(1, 1)$ vale $3$: le derivate parziali non determinano le altre derivate direzionali, in generale. (Per le funzioni "buone" invece sì, con la formula del gradienteIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita →.)

Proprietà

Sia $p \in \operatorname{int}(D)$ e $f, g$ con derivata direzionale lungo $u$ in $p$. Allora:

1. $D_u(f + g)(p) = D_u f(p) + D_u g(p)$;
2. $D_u(fg)(p) = D_u f(p)\,g(p) + f(p)\,D_u g(p)$;
3. $D_u(cf)(p) = c\,D_u f(p)$ per $c \in \mathbb{R}$;
4. se $\varphi$ è una funzione di una variabile derivabile in $f(p)$: $D_u(\varphi \circ f)(p) = \varphi'(f(p))\,D_u f(p)$.

Seguono dalle regole di derivazione di una variabile applicate a $g(t) = f(p + tu)$.

Esempio. $D_u(x_1^2 + x_2^2)^3$ in un punto $p$: con $\varphi(s) = s^3$ e l'esempio 1, $$D_u(x_1^2 + x_2^2)^3(p) = 3(p_1^2 + p_2^2)^2\cdot 2\,p\cdot u = 6\,|p|^4\,(p \cdot u)$$

Dipendenza dalla lunghezza di $u$. Con $u$ sostituito da $\lambda u$: $\frac{f(p + t\lambda u) - f(p)}{t} = \lambda\,\frac{f(p + (\lambda t)u) - f(p)}{\lambda t} \to \lambda D_u f(p)$. Quindi $D_{\lambda u}f(p) = \lambda D_u f(p)$: raddoppiando il vettore raddoppia la derivata. Per confrontare le pendenze in direzioni diverse si usano versori.

Errori comuni

• Credere che l'esistenza delle derivate parziali (o di tutte le direzionali) implichi la continuità: falso (esempio 4).
• Usare lo stratagemma nel punto di raccordo di una funzione a pezzi.
• Confrontare derivate direzionali lungo vettori di lunghezze diverse.