Lezione 01 — Spazio Rn, curve e lunghezza

Modulo: Analisi, Lezione 1 ("Curve"), a.a. 2026/27: prima settimana di corso (videolezioni su Moodle del 1/10 e del 2/10). Esercizi del venerdì: settimana 1.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Lo spazio e la distanza: norma, distanza, disuguaglianza triangolare; palle e cubi e le loro inclusioni; intorni, punti interni, aperti e chiusi, frontiera e chiusura; prodotto scalare e Cauchy-Schwarz (per quale versore $u$ è massimo $x \cdot u$); equazioni di ellissi (completamento del quadrato), rette, piani, cilindri.
2. Unità 2 - Funzioni vettoriali e curve: curva, sostegno, parametrizzazione; cerchio, segmento, ellisse, curve cartesiane; curve chiuse e semplici; limiti e continuità componente per componente; esempio dell'astroide e di un'ellisse nello spazio.
3. Unità 3 - Derivate di curve: derivata, vettore e retta tangente, curve regolari; approssimazione al prim'ordine; regole di derivazione; norma costante ⇒ $r \perp r'$.
4. Unità 4 - Lunghezza di curve: poligonali inscritte e curve rettificabili; somme di Riemann; $L = \int|f'|$ per curve $C^1$; grafici e curve in coordinate polari (cardioide, spirali); una curva continua non rettificabile.
5. Unità 5 - La lunghezza d'arco: parametrizzazioni equivalenti e invarianza della lunghezza (con dimostrazione); ascissa curvilinea, "$ds = |f'(t)|\,dt$"; riparametrizzazione con la lunghezza d'arco.

Teoria

• Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn →
• Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in RnUn intorno di p è un insieme che contiene una palla centrata in p. p è interno a D se una palla B(p,δ[ sta tutta in D; D è aperto se ogni suo punto è interno, chiuso se il complementare è aperto. La frontiera ∂D è fatta dai punti i cui intorni toccano sia D sia il complementare; la chiusura è D ∪ ∂D, il più piccolo chiuso che contiene D. Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono aperte.Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn →
• Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →
• Derivata di una curva e retta tangenteLa derivata di f : I → Rⁿ è f'(t₀) = lim (f(t) − f(t₀))/(t − t₀) e si calcola componente per componente. Se f'(t₀) ≠ 0 è il vettore tangente (la velocità) e la retta tangente è f(t₀) + λ f'(t₀). Curva regolare: f' ≠ 0 ovunque. Approssimazione al prim'ordine: f(t) ≈ f(t₀) + f'(t₀)(t − t₀). Regole: linearità, prodotto per una funzione, (f·g)' = f'·g + f·g', catena (f∘u)' = f'(u) u'. Se |r(t)| è costante, r e r' sono ortogonali.Derivata di una curva e retta tangente →
• Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →
• Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →

Esercizi

• Esercizio 1 · interno e frontiera di un disco con un punto e massimo di u·v — venerdì, foglio 1
• Esercizio 2 · rendere cartesiana una curva con un cambio di variabile — venerdì, foglio 2
• Esercizio 3 · curva intersezione di una sfera e di un cilindro — venerdì, foglio 3
• Esercizio 4 · unioni e intersezioni di aperti e chiusi — venerdì, fogli 4 e 6
• Esercizio 5 · stimare una posizione con la retta tangente — venerdì, foglio 5, ed esercizio 2 della lezione
• Esercizio 6 · ellisse, parametrizzazioni e curve nello spazio — esempi delle Unità 1-2, esercizi 1 e 5
• Esercizio 7 · astroide, sostegno e lunghezza — esercizio 3
• Esercizio 8 · elica, pendenza costante e lunghezza d'arco — esercizio 6 (e Ripassi 1.2)
• Esercizio 9 · lunghezze di curve in coordinate polari — esempi dell'Unità 4 e Ripassi 1.1
• Esercizio 10 · riparametrizzare con la lunghezza d'arco — esercizio 4 ed esempio dell'Unità 5
• Esercizio 11 · limiti di somme di Riemann — esempio dell'Unità 4 ed esercizio 7