Norma, distanza e prodotto scalare in Rn

Lezione 1 di analisi, Unità 1. È il linguaggio di base di tutta la parte di analisi del corso: curve, funzioni di più variabili, integrali multipli. Molte cose sono già note dall'algebra lineare (vedi Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →); qui si raccoglie solo ciò che serve, con gli esempi del prof.

Punti e vettori di $\mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^n$ è l'insieme delle $n$-uple ordinate $x = (x_1, \dots, x_n)$ di numeri reali. Per $n = 2$ è il piano, per $n = 3$ lo spazio. Lo stesso oggetto $x$ si può pensare come un punto (una posizione) o come un vettore (una freccia che parte dall'origine e arriva in quel punto): a seconda dei casi conviene l'una o l'altra immagine.

Somma e prodotto per un numero si fanno componente per componente: $$x + y = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n), \qquad \lambda x = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$$

Dati due punti $P$ e $Q$, il vettore $\overrightarrow{PQ} = Q - P$ è la freccia che porta da $P$ a $Q$.

Norma e distanza

Definizione. La norma (o modulo) di $x = (x_1, \dots, x_n)$ è $$|x| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$$ La distanza tra due punti $x, y \in \mathbb{R}^n$ è $\operatorname{dist}(x, y) := |x - y|$.

Per $n = 2$ è il teorema di Pitagora: $|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = 5$ è la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti $3$ e $4$. Per $n = 1$ la norma è il valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →: $|x| = \sqrt{x^2}$.

Esempio. La distanza tra $(1, 2, 3)$ e $(4, 6, 3)$ è $|(1 - 4, 2 - 6, 3 - 3)| = |(-3, -4, 0)| = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$.

Proprietà della norma (si verificano dalla definizione):

• $|x| \ge 0$, e $|x| = 0$ solo se $x = 0$ (una somma di quadrati è nulla solo se lo è ogni quadrato);
• $|\lambda x| = |\lambda|\,|x|$ (si raccoglie $\lambda^2$ sotto radice);
• disuguaglianza triangolare: $|x + y| \le |x| + |y|$.

La disuguaglianza triangolare dice che in un triangolo un lato non supera la somma degli altri due: andare da $0$ a $x + y$ direttamente non è mai più lungo che passare per $x$. In termini di distanze: $\operatorname{dist}(x, z) \le \operatorname{dist}(x, y) + \operatorname{dist}(y, z)$. Si dimostra con Cauchy-Schwarz (sotto).

Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Definizione. Il prodotto scalare di $x = (x_1, \dots, x_n)$ e $y = (y_1, \dots, y_n)$ è il numero $$x \cdot y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$$ Due vettori sono ortogonali se $x \cdot y = 0$.

Si noti che $x \cdot x = x_1^2 + \cdots + x_n^2 = |x|^2$.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Per ogni $x, y \in \mathbb{R}^n$ $$|x \cdot y| \le |x|\,|y|$$ e vale l'uguaglianza solo se $x$ e $y$ sono dipendenti (uno è multiplo dell'altro). Più precisamente, per $x, y \ne 0$:

• $x \cdot y = |x|\,|y| \iff y = \lambda x$ con $\lambda > 0$ (stesso verso);
• $x \cdot y = -|x|\,|y| \iff y = \lambda x$ con $\lambda < 0$ (verso opposto).

Perché è vera (idea). Nel piano $x \cdot y = |x|\,|y|\cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori; siccome $-1 \le \cos\theta \le 1$, il prodotto scalare è compreso tra $-|x|\,|y|$ e $|x|\,|y|$, e gli estremi si raggiungono solo per $\theta = 0$ (vettori concordi) o $\theta = \pi$ (vettori opposti).

Dimostrazione della disuguaglianza triangolare. Si confrontano i quadrati (entrambi i membri sono $\ge 0$, quindi elevare al quadrato non cambia il verso): $$|x + y|^2 = (x + y)\cdot(x + y) = |x|^2 + 2\,x \cdot y + |y|^2 \le |x|^2 + 2|x|\,|y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2$$ dove nel passaggio con $\le$ si è usato $x \cdot y \le |x \cdot y| \le |x|\,|y|$ (Cauchy-Schwarz) ∎.

Esempio: per quale direzione è massimo $x \cdot u$?

Dato $x \ne 0$, tra tutti i vettori $u$ di norma $1$ (i versori), quale rende massimo $x \cdot u$? E minimo?

Per Cauchy-Schwarz $-|x| = -|x|\cdot 1 \le x \cdot u \le |x|\cdot 1 = |x|$. Il valore massimo $|x|$ si ottiene quando $u$ è un multiplo positivo di $x$; dovendo avere norma $1$, è $$u = \frac{x}{|x|} \quad (\text{massimo} = |x|), \qquad u = -\frac{x}{|x|} \quad (\text{minimo} = -|x|)$$ Questo fatto tornerà con il gradienteIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita →: la direzione in cui una funzione cresce di più è quella del gradiente. Un esempio numerico è nell'Esercizio 1 · interno e frontiera di un disco con un punto e massimo di u·v.

Palle e cubi

Per $p \in \mathbb{R}^n$ e $r > 0$:

• palla chiusa $B(p, r] := \{x : |x - p| \le r\}$ e palla aperta $B(p, r[ := \{x : |x - p| < r\}$ (nel piano si dicono dischi);
• sfera (nel piano cerchio o circolo) $\{x : |x - p| = r\}$, che è il bordo di entrambe;
• cubo chiuso $Q(p, r] := \{x : |x_1 - p_1| \le r, \dots, |x_n - p_n| \le r\}$ e cubo aperto $Q(p, r[$ con le disuguaglianze strette (nel piano: quadrati di centro $p$ e lato $2r$).

La parentesi quadra dice se il bordo è compreso: $]$ chiuso (bordo incluso), $[$ aperto (bordo escluso), come per gli intervalli.

Proposizione (palle e cubi). Ogni palla contiene un cubo con lo stesso centro e viceversa: $$B(p, r] \subseteq Q(p, r] \subseteq B(p, r\sqrt n]$$

Dimostrazione. Se $x \in B(p, r]$, ogni componente soddisfa $|x_i - p_i| = \sqrt{(x_i - p_i)^2} \le \sqrt{(x_1 - p_1)^2 + \cdots + (x_n - p_n)^2} = |x - p| \le r$ (si aggiungono sotto radice dei termini $\ge 0$), quindi $x \in Q(p, r]$. Se invece $x \in Q(p, r]$, ogni $(x_i - p_i)^2 \le r^2$ e sommando gli $n$ termini $$|x - p| = \sqrt{(x_1 - p_1)^2 + \cdots + (x_n - p_n)^2} \le \sqrt{n\,r^2} = r\sqrt n$$ cioè $x \in B(p, r\sqrt n]$ ∎.

Nel piano: il disco di raggio $r$ sta dentro il quadrato di lato $2r$, che a sua volta sta nel disco di raggio $r\sqrt2$ (la semidiagonale del quadrato). Il senso pratico: per dire che un insieme "contiene un intorno" di un punto si può usare indifferentemente una palla o un cubo, a seconda di cosa è più comodo (vedi Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in RnUn intorno di p è un insieme che contiene una palla centrata in p. p è interno a D se una palla B(p,δ[ sta tutta in D; D è aperto se ogni suo punto è interno, chiuso se il complementare è aperto. La frontiera ∂D è fatta dai punti i cui intorni toccano sia D sia il complementare; la chiusura è D ∪ ∂D, il più piccolo chiuso che contiene D. Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono aperte.Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn →).

Insiemi notevoli e loro equazioni

Perché la retta $ax + by + c = 0$ è perpendicolare a $(a, b)$. Se $P$ e $Q$ sono due suoi punti, sottraendo le due equazioni $ax_P + by_P + c = 0$ e $ax_Q + by_Q + c = 0$ si ottiene $a(x_Q - x_P) + b(y_Q - y_P) = 0$, cioè $(a, b)\cdot\overrightarrow{PQ} = 0$: il vettore $(a, b)$ è ortogonale a ogni segmento della retta. Lo stesso ragionamento vale per il piano.

Perché nel cilindro la $z$ è libera. L'equazione $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ non pone condizioni su $z$: se $(x, y, 0)$ sta sul cerchio di centro $(a, b)$, allora ci sta anche $(x, y, z)$ per ogni $z$. L'insieme è il cerchio "fatto scorrere" lungo la verticale.

Riconoscere un'ellisse: il completamento del quadrato

Esempio del prof. Trovare centro e semiassi dell'ellisse $x^2 - 4x + 3y^2 + 18y + 6 = 0$.

L'idea è scrivere i termini in $x$ (e in $y$) come un quadrato perfetto più una costante, usando $(x - h)^2 = x^2 - 2hx + h^2$.

• Termini in $x$: $x^2 - 4x$. Il doppio prodotto $-4x$ corrisponde a $-2hx$ con $h = 2$, quindi $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ (si sottrae $h^2 = 4$, che lo sviluppo del quadrato ha aggiunto).
• Termini in $y$: prima si raccoglie il coefficiente di $y^2$: $3y^2 + 18y = 3(y^2 + 6y)$; poi $y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$. Quindi $3y^2 + 18y = 3(y + 3)^2 - 27$.

Sostituendo: $$(x - 2)^2 - 4 + 3(y + 3)^2 - 27 + 6 = 0 \iff (x - 2)^2 + 3(y + 3)^2 = 25$$ e dividendo per $25$ (per avere $1$ a destra, come nella forma canonica): $$\frac{(x - 2)^2}{25} + \frac{(y + 3)^2}{25/3} = 1$$ Centro $(2, -3)$, semiassi $A = 5$ (in direzione $x$) e $B = \sqrt{25/3} = \frac{5}{\sqrt3}$ (in direzione $y$).

Errori comuni

• Confondere $|x|^2$ con $|x|$: $x \cdot x = |x|^2$, non $|x|$.
• Dimenticare di raggruppare il coefficiente prima di completare il quadrato: $3y^2 + 18y$ non è $(\sqrt3 y + 3)^2 - 9$ ma $3(y + 3)^2 - 27$; conviene sempre raccogliere prima.
• Leggere i semiassi senza riportare il secondo membro a $1$: in $(x - 2)^2 + 3(y + 3)^2 = 25$ i semiassi non sono $1$ e $\frac{1}{\sqrt3}$.