Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana

Lezione 4 di analisi, Unità 1-2. Prerequisiti: Gradiente e direzione di massima crescitaIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita →, Derivate seconde e matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂ᵢ(∂ⱼf) si ottengono derivando una derivata parziale. La matrice hessiana Hess f(p) raccoglie le n² derivate seconde (riga i, colonna j: ∂ᵢ∂ⱼf). Teorema di Schwarz: se f è C² (derivate seconde continue) le derivate miste coincidono, ∂ᵢ∂ⱼf = ∂ⱼ∂ᵢf, quindi l'hessiana è simmetrica. Servirà per classificare i punti critici.Derivate seconde e matrice hessiana →, e il caso di una variabile in Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →.

I problemi di partenza del prof.

• Profitto: vendendo $x$ migliaia di palline da golf al mese ($0 \le x \le 50$) con $y$ ore di pubblicità ($0 \le y \le 25$), il profitto (in migliaia di euro) è $f(x, y) = 48x + 96y - x^2 - 2xy - 9y^2$. Quali $x, y$ lo massimizzano?
• Pacco postale: un corriere accetta pacchi con lati $x + y + z \le 4$. Qual è il volume massimo? Con $z = 4 - x - y$ (conviene usare tutta la somma consentita) il volume è $f(x, y) = xy(4 - x - y)$.

Entrambi sono risolti in Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitatiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme chiuso e limitato (compatto) ha massimo e minimo assoluti. Per trovarli si confrontano i valori di f nei candidati: i punti critici interni e i punti di massimo e minimo di f ristretta al bordo (che si studia parametrizzando ogni pezzo del bordo e riducendosi a funzioni di una variabile, vertici compresi). Esempi: profitto massimo 648 in (21, 3); pacco postale con volume massimo 64/27 (il cubo di lato 4/3).Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati →; qui si costruiscono gli strumenti.

Definizioni

Sia $f : D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $p \in D$.

• $f$ ha un minimo assoluto in $p$ se $f(x) \ge f(p)$ per ogni $x \in D$.
• $f$ ha un minimo locale in $p$ se esiste un intorno $U_p$ con $f(x) \ge f(p)$ per ogni $x \in D \cap U_p$; è stretto se $f(x) > f(p)$ per $x \ne p$.
• Per i massimi si rovesciano le disuguaglianze.

In pratica si tratta di capire il segno di $f(x) - f(p)$ vicino a $p$: sempre $\ge 0$ (minimo), sempre $\le 0$ (massimo), o di entrambi i segni (né l'uno né l'altro). Le derivate non compaiono nella definizione: $x \mapsto |x|$ ha minimo assoluto nell'origine, dove non ha derivate parziali.

Condizione necessaria: la regola di Fermat

Teorema (Fermat). Se $f$ ha un massimo o minimo locale in $p$ interno a $D$ ed è derivabile lungo $u$ in $p$, allora $D_u f(p) = 0$. Corollario. Se inoltre $f$ ha derivate parziali in $p$, allora $\nabla f(p) = 0$: si dice che $p$ è un punto critico (o stazionario).

Dimostrazione. Sia $p$ di minimo locale. La funzione di una variabile $g(t) = f(p + tu)$ è definita per $t$ vicino a $0$ (perché $p$ è interno) e ha un minimo locale in $t = 0$. Per il teorema di Fermat in una variabile $g'(0) = 0$, cioè $D_u f(p) = 0$ ∎.

Attenzione:

1. Serve $p$ interno. Su $[0, 1]$, $f(x) = x$ ha minimo in $0$ con $f'(0) = 1 \ne 0$; analogamente in più variabili i punti di massimo e minimo sul bordo del dominio non sono in genere critici.
2. Il viceversa è falso. $f(x, y) = x^2 - y^2$ ha $\nabla f(0,0) = (0, 0)$, ma l'origine non è né massimo né minimo: lungo l'asse $x$ la funzione sale ($x^2 > 0$), lungo l'asse $y$ scende ($-y^2 < 0$).

Definizione. $p$ è un punto di sella se è critico e non è né massimo né minimo locale, cioè in ogni palla $B(p, r[$ ci sono punti $x, y$ con $f(x) < f(p) < f(y)$.

Ricerca dei punti critici: si risolve il sistema $$\partial_{x_1}f(x) = 0, \quad \dots, \quad \partial_{x_n}f(x) = 0$$ che di solito è non lineare: conviene partire dall'equazione più semplice, fattorizzare, e distinguere i casi.

Ripasso: una variabile

Se $f$ è derivabile due volte in $p$ interno con $f'(p) = 0$: $f''(p) > 0 \Rightarrow$ minimo locale stretto, $f''(p) < 0 \Rightarrow$ massimo locale stretto, $f''(p) = 0 \Rightarrow$ non si può dire nulla ($x^3$, $x^4$, $-x^4$). Il motivo è lo sviluppo di Taylor: $f(p + h) - f(p) \approx \frac12 f''(p)h^2$, che ha il segno di $f''(p)$. In più variabili il ruolo di $f''(p)h^2$ lo fa una forma quadratica.

Forme quadratiche in due variabili

Data la matrice simmetrica $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$, la forma quadratica associata è $$q_H(h, k) = a h^2 + 2b\,hk + c k^2, \qquad (h, k) \in \mathbb{R}^2$$ Si dice:

• definita positiva ($H > 0$) se $q_H(h, k) > 0$ per ogni $(h, k) \ne (0, 0)$;
• definita negativa ($H < 0$) se $q_H(h, k) < 0$ per ogni $(h, k) \ne (0, 0)$;
• indefinita se assume valori di entrambi i segni;
• semidefinita (positiva o negativa) se ha sempre lo stesso segno ma si annulla anche per qualche $(h, k) \ne (0, 0)$.

Esempi del prof.

• $H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: $q = 2h^2 + 2hk + 2k^2 = (h + k)^2 + h^2 + k^2$, somma di quadrati nulla solo per $h = k = 0$: definita positiva.
• $H = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$: $q = -(h + k)^2 - h^2 - k^2$: definita negativa.
• $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$: $q = h^2 - k^2$, positiva per $(1, 0)$, negativa per $(0, 1)$: indefinita.
• $H = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $q = (h + k)^2 \ge 0$, nulla per $(1, -1)$: semidefinita positiva.

Criterio del determinante. Per $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$:

• $\det H > 0$ e $a > 0$ $\iff$ definita positiva;
• $\det H > 0$ e $a < 0$ $\iff$ definita negativa;
• $\det H < 0$ $\iff$ indefinita;
• $\det H = 0$: semidefinita (positiva o negativa). Il caso $\det H > 0$ con $a = 0$ non può capitare: sarebbe $\det H = -b^2 \le 0$.

Perché funziona (per $a \ne 0$, completando il quadrato): $$a\,q_H(h, k) = a^2h^2 + 2ab\,hk + ac\,k^2 = (ah + bk)^2 + (ac - b^2)\,k^2 = (ah + bk)^2 + \det H\cdot k^2$$ Se $\det H > 0$, a destra c'è una somma di quadrati, positiva per $(h, k) \ne 0$: allora $q_H$ ha il segno di $a$. Se $\det H < 0$, scegliendo $k = 0$ si ottiene $a q_H > 0$, scegliendo $ah + bk = 0$ con $k \ne 0$ si ottiene $a q_H < 0$: segni opposti.

Condizione sufficiente: il criterio dell'hessiana

Teorema (criterio dell'hessiana). Sia $f$ di classe $C^2$ e $p$ un punto critico interno al dominio. Con $\operatorname{Hess}f(p) = \begin{pmatrix} f_{xx}(p) & f_{xy}(p) \\ f_{xy}(p) & f_{yy}(p) \end{pmatrix}$:

1. $\det\operatorname{Hess}f(p) > 0$ e $f_{xx}(p) > 0$: $p$ è minimo locale stretto;
2. $\det\operatorname{Hess}f(p) > 0$ e $f_{xx}(p) < 0$: $p$ è massimo locale stretto;
3. $\det\operatorname{Hess}f(p) < 0$: $p$ è un punto di sella;
4. $\det\operatorname{Hess}f(p) = 0$: il criterio non permette di concludere.

Perché (idea): con la formula di Taylor al secondo ordine, in un punto critico $$f(p + (h, k)) - f(p) \approx \frac12\big(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2\big) = \frac12\,q_{\operatorname{Hess}f(p)}(h, k)$$ e il segno di $f - f(p)$ vicino a $p$ è quello della forma quadratica hessiana, quando questa non è degenere.

Esempio. In $(0,0)$ le tre funzioni $x^2 + y^2$, $-x^2 - y^2$, $x^2 - y^2$ hanno hessiane $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$: minimo, massimo, sella.

Esempio del prof: $f(x, y) = 2x^3 - 6xy + 3y^2$

Punti critici. $\nabla f = (6x^2 - 6y,\ -6x + 6y) = 6(x^2 - y,\ y - x)$. La seconda equazione dà $y = x$; sostituendo nella prima, $x^2 - x = 0$, cioè $x = 0$ o $x = 1$. Punti critici: $(0, 0)$ e $(1, 1)$.

Hessiana. $f_{xx} = 12x$, $f_{xy} = -6$, $f_{yy} = 6$: $$\operatorname{Hess}f(x, y) = \begin{pmatrix} 12x & -6 \\ -6 & 6 \end{pmatrix} = 6\begin{pmatrix} 2x & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

• In $(0, 0)$: $\det = 0\cdot 6 - 36 = -36 < 0$: sella.
• In $(1, 1)$: $\det = 72 - 36 = 36 > 0$ e $f_{xx} = 12 > 0$: minimo locale stretto, con $f(1, 1) = 2 - 6 + 3 = -1$.

Non è un minimo assoluto: $f(x, 0) = 2x^3 \to -\infty$ per $x \to -\infty$.

Quando l'hessiana non dice nulla ($\det = 0$)

Le tre funzioni $x^4 + y^4$, $-x^4 - y^4$, $x^4 - y^4$ hanno tutte $\nabla f(0,0) = 0$ e $\operatorname{Hess}f(0,0) = 0$ (matrice nulla), ma l'origine è rispettivamente minimo assoluto, massimo assoluto e sella. Nel caso $\det = 0$ si studia direttamente il segno di $f(x) - f(p)$:

• per mostrare che non è un estremo basta trovare due restrizioni (rette, curve per $p$) lungo cui $f - f(p)$ ha segni opposti;
• per mostrare che è un estremo serve una disuguaglianza valida in tutto un intorno (scrivere $f - f(p)$ come somma di quadrati, fattorizzare, …).

Esempio del prof. $f(x, y) = x^3 + (y - x)^2$. $\nabla f = (3x^2 - 2(y - x),\ 2(y - x))$: dalla seconda $y = x$, poi $3x^2 = 0$. Unico punto critico $(0, 0)$, con $$\operatorname{Hess}f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det = 0$$ Il criterio non decide. Lungo la retta $y = x$ la funzione vale $x^3$, che è positiva per $x > 0$ e negativa per $x < 0$: $f - f(0,0)$ cambia segno in ogni intorno dell'origine, che è quindi una sella. (La retta $y = x$ è la direzione in cui la forma quadratica $2(h - k)^2$ si annulla: è lì che conta il termine di terzo grado.)

Altri esempi completi (anche con infiniti punti critici) nell'Esercizio 21 · punti critici e criterio dell'hessiana e nell'Esercizio 22 · punti critici con hessiana degenere.

Schema operativo

1. Dominio (aperto?) e regolarità ($C^2$).
2. Sistema $\nabla f = 0$ → punti critici.
3. Hessiana in ogni punto critico: determinante e $f_{xx}$.
4. Se $\det = 0$: segno di $f - f(p)$ con restrizioni o disuguaglianze.
5. Per gli estremi assoluti su tutto il dominio: confrontare i valori e controllare il comportamento all'infinito (o sul bordo).

Errori comuni

• Dimenticare $p$ interno nella regola di Fermat.
• Concludere "massimo" o "minimo" con $\det = 0$, oppure concludere "sella" da $\det = 0$: il caso è indeciso.
• Confondere locale e assoluto: un minimo locale stretto può non essere il minimo assoluto (come in $(1, 1)$ per $2x^3 - 6xy + 3y^2$).
• Perdere soluzioni del sistema dividendo per una variabile che può essere nulla.