Esercizio 57variabili congiunte discrete dai Ripassi

Testo (Ripassi 2025/26).

• 3.47 Un dado rosso ha le facce $1, \dots, 6$; uno verde ha $1, 2, 3$ ciascuno ripetuto due volte; uno bianco ha $1, 2$ ciascuno ripetuto tre volte. Si lancia il rosso; se esce un pari si lancia il verde, altrimenti il bianco. $X$ e $Y$ sono gli esiti del primo e del secondo lancio. Determinare la densità congiunta e calcolare $P(X \le Y)$.
• 3.48 Siano $X_1, X_2, X_3$ Bernoulli indipendenti di parametri $\frac12, \frac13, \frac14$ ($X_i \sim \operatorname{Be}\left(\frac1{i+1}\right)$), $X = X_1 + X_2$ e $Y = X_2 + X_3$. (b) Calcolare la densità congiunta di $(X, Y)$ in $(0, 2)$, $(1, 2)$, $(2, 2)$. (c) Dedurre $p_Y(2)$.
• 3.49 $X$, $Y$ assumono i valori $\{7, 8, 16\}$ e $\{4, 2\}$, con $p(7, 4) = 0.1$, $p(7, 2) = 0.1$, $p(8, 4) = 0.2$, $p(8, 2) = 0.3$, $p(16, 4) = 0.2$, $p(16, 2) = 0.1$. (i) Densità marginali; (ii) sono indipendenti? (iii) valori attesi e covarianza; (iv) valori di $XY$ e $P(XY = 32)$.
• 3.50 $p(0, 0) = a$, $p(1, 0) = 0$, $p(0, 1) = 0$, $p(1, 1) = b$, $p(0, 2) = c$, $p(1, 2) = 0$, con $a, b, c$ non nulli. (a) Condizioni su $a, b, c$; marginali e valori attesi. (b) Mostrare che $X$, $Y$ non sono indipendenti. (c) Condizione necessaria e sufficiente perché non siano correlate.
• 3.51 $X$, $Y$ indipendenti uniformi su $\{1, \dots, 6\}$ e $M = \max\{X, Y\}$. (a) Determinare $P(M = j \mid X = i)$; (b) dedurne la densità di $M$.

Teoria: Variabili aleatorie congiunte discreteUna variabile congiunta discreta è una coppia (X, Y) di v.a. discrete; la densità congiunta è p_{X,Y}(a,b) = P(X = a, Y = b). Le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile: pₓ(a) = Σ_y p_{X,Y}(a,y). Le marginali NON determinano la congiunta. X e Y sono indipendenti se e solo se p_{X,Y}(a,b) = pₓ(a) p_Y(b) per ogni (a,b). E[g(X,Y)] = Σ g(x,y) p_{X,Y}(x,y); in particolare E[XY] e Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y].Variabili aleatorie congiunte discrete →, Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →.

Tutte le risposte sono state controllate con Python (frazioni esatte).

3.47 I tre dadi

Densità congiunta (formula del prodotto: $P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y \mid X = x)$):

• se $x$ è pari ($2, 4, 6$) si lancia il verde: $p(x, y) = \frac16\cdot\frac13 = \frac1{18}$ per $y \in \{1, 2, 3\}$;
• se $x$ è dispari ($1, 3, 5$) si lancia il bianco: $p(x, y) = \frac16\cdot\frac12 = \frac1{12}$ per $y \in \{1, 2\}$;
• $0$ altrimenti.

$P(X \le Y)$: $Y \le 3$, quindi servono $x \le 3$.

• $x = 1$ (bianco, $Y \in \{1, 2\}$): sempre $1 \le Y$: $\frac1{12} + \frac1{12} = \frac16$;
• $x = 2$ (verde): serve $Y \in \{2, 3\}$: $\frac2{18} = \frac19$;
• $x = 3$ (bianco): $Y \le 2 < 3$: $0$.

$$P(X \le Y) = \frac16 + \frac19 = \frac5{18}$$

3.48 Somme di Bernoulli con un addendo in comune

(b) Si traducono gli eventi in termini delle $X_i$:

• $(X, Y) = (0, 2)$: $X = 0$ richiede $X_2 = 0$, $Y = 2$ richiede $X_2 = 1$: impossibile, $p(0, 2) = 0$;
• $(1, 2)$: $Y = 2 \Rightarrow X_2 = X_3 = 1$, e allora $X = 1 \Rightarrow X_1 = 0$: $p(1, 2) = \frac12\cdot\frac13\cdot\frac14 = \frac1{24}$;
• $(2, 2)$: $X_1 = X_2 = X_3 = 1$: $p(2, 2) = \frac12\cdot\frac13\cdot\frac14 = \frac1{24}$.

(c) $p_Y(2) = p(0, 2) + p(1, 2) + p(2, 2) = \frac1{12}$ (controllo: $P(X_2 = 1, X_3 = 1) = \frac13\cdot\frac14 = \frac1{12}$ ✓). $X$ e $Y$ non sono indipendenti (hanno $X_2$ in comune: $p(0, 2) = 0$ ma $p_X(0)p_Y(2) > 0$).

3.49

(ii) $p(8, 4) = 0.2 \ne p_X(8)p_Y(4) = 0.25$: non indipendenti (la casella $(7, 4)$ invece soddisfa il prodotto: non basta controllarne una).

(iii) $E[X] = 1.4 + 4 + 4.8 = 10.2$, $E[Y] = 3$, $$E[XY] = 28(0.1) + 14(0.1) + 32(0.2) + 16(0.3) + 64(0.2) + 32(0.1) = 31.4, \qquad \operatorname{Cov}[X, Y] = 31.4 - 30.6 = 0.8$$

(iv) I prodotti possibili sono $28, 14, 32, 16, 64$; il valore $32$ si ottiene da $(8, 4)$ e da $(16, 2)$: $P(XY = 32) = 0.2 + 0.1 = 0.3$.

3.50

(a) Densità $\ge 0$ con somma $1$: $a, b, c > 0$ e $a + b + c = 1$. Marginali: $p_X(0) = a + c$, $p_X(1) = b$; $p_Y(0) = a$, $p_Y(1) = b$, $p_Y(2) = c$. Valori attesi: $E[X] = b$, $E[Y] = b + 2c$.

(b) $p(1, 0) = 0$, ma $p_X(1)p_Y(0) = ab > 0$: non indipendenti.

(c) $E[XY] = 1\cdot 1\cdot b = b$ (l'unica casella con $xy \ne 0$ e probabilità positiva), quindi $$\operatorname{Cov}[X, Y] = b - b(b + 2c) = b(1 - b - 2c) = b(a - c)$$ (usando $1 - b = a + c$). Siccome $b \ne 0$: non correlate $\iff a = c$. Un altro esempio di variabili non correlate ma dipendenti.

3.51 Il massimo di due dadi

(a) Dato $X = i$:

• $j < i$: impossibile ($M \ge X$), probabilità $0$;
• $j = i$: serve $Y \le i$, probabilità $\frac i6$;
• $j > i$: serve $Y = j$, probabilità $\frac16$.

(L'indipendenza permette di usare la legge di $Y$ anche sapendo $X$.)

(b) Partizione su $X$: $$p_M(j) = \sum_{i=1}^6 P(M = j \mid X = i)\frac16 = \frac16\left(\frac j6 + (j - 1)\frac16\right) = \frac{2j - 1}{36}, \qquad j = 1, \dots, 6$$ Controllo: $\sum_{j=1}^6(2j - 1) = 36$ ✓. Il massimo è più spesso alto: $P(M = 6) = \frac{11}{36}$, $P(M = 1) = \frac1{36}$.

Errori comuni

• In 3.49 dedurre l'indipendenza dalla prima casella.
• In 3.51 dimenticare il caso $j = i$, che ha probabilità $\frac i6$ e non $\frac16$.