Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente

Lezione 5 di analisi, Unità 2. Prerequisiti: Gradiente e direzione di massima crescitaIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita →.

Campi vettoriali

Definizione. Un campo vettoriale su $D \subseteq \mathbb{R}^n$ è una funzione $$F : D \to \mathbb{R}^n, \qquad x \mapsto F(x) = (F_1(x), \dots, F_n(x))$$

A differenza di una funzione di più variabili (che dà un numero), un campo associa a ogni punto un vettore della stessa dimensione dello spazio. Si disegna mettendo in ogni punto una freccia. Esempi: il campo delle velocità di un fluido, il campo gravitazionale, il campo elettrico, il gradiente di una funzione.

Esempio. $F(x, y) = (-y, x)$: nel punto $(1, 0)$ la freccia è $(0, 1)$ (verso l'alto), in $(0, 1)$ è $(-1, 0)$ (verso sinistra). Le frecce sono sempre perpendicolari al raggio e lunghe quanto la distanza dall'origine: è il campo delle velocità di una rotazione rigida antioraria.

Campi radiali

Definizione. Un campo su $\mathbb{R}^n$ è radiale se è della forma $$F(x) = g(|x|)\,\frac{x}{|x|}, \qquad |x| \in I \subseteq\, ]0, +\infty[$$

$\frac{x}{|x|}$ è il versore radiale; quindi un campo radiale punta lungo il raggio (verso l'esterno se $g > 0$, verso l'origine se $g < 0$) e la sua intensità $|g(|x|)|$ dipende solo dalla distanza dall'origine.

Esempi.

1. Il campo gravitazionale generato da una massa nell'origine e il campo elettrico di una carica puntiforme sono del tipo $$F(x) = \frac{K}{|x|^2}\,\frac{x}{|x|}$$ con $g(r) = \frac{K}{r^2}$ (legge dell'inverso del quadrato; per la gravità $K < 0$, il campo attrae verso l'origine).
2. Ogni campo $F(x) = h(|x|)\,x$ è radiale: per $x \ne 0$ si scrive $F(x) = |x|\,h(|x|)\,\frac{x}{|x|}$, con $g(r) = r\,h(r)$. Per esempio $F(x) = |x|^8x$ ha $g(r) = r^9$.

Campi gradiente e primitive

Definizione. Sia $D$ aperto. Un campo continuo $F : D \to \mathbb{R}^n$ è un campo gradiente se esiste $U : D \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ con $$F = \nabla U, \qquad \text{cioè} \quad F_i = \partial_{x_i}U \ \text{ per ogni } i$$ $U$ si dice primitiva di $F$. In fisica si usa il potenziale $V := -U$.

È l'analogo in più variabili della primitiva di una funzione di una variabile: lì $U' = f$, qui $\nabla U = F$.

Le primitive differiscono per una costante. Se $U$ è una primitiva, anche $U + c$ lo è. Viceversa, se $D$ è connesso (due punti qualsiasi di $D$ si possono unire con una curva dentro $D$), due primitive differiscono per una costante: la loro differenza ha gradiente nullo, ed è quindi costante lungo ogni curva.

Esempio: campi "a variabili separate". Un campo del tipo $F(x_1, \dots, x_n) = (f_1(x_1), \dots, f_n(x_n))$, in cui ogni componente dipende solo dalla "sua" variabile, è gradiente: se $u_i' = f_i$, allora $$\nabla\big(u_1(x_1) + \cdots + u_n(x_n)\big) = (f_1(x_1), \dots, f_n(x_n))$$ Per esempio $F(x_1, x_2) = (-x_1,\ 2x_2e^{x_2^2})$ ha primitiva $U = -\frac12x_1^2 + e^{x_2^2}$.

Esempio: il campo gravitazionale. Ricordando che $\nabla|x| = \frac{x}{|x|}$ per $x \ne 0$, con la regola di derivazione delle composte: $$\nabla\left(-\frac{K}{|x|}\right) = \frac{K}{|x|^2}\,\nabla|x| = \frac{K}{|x|^2}\,\frac{x}{|x|}$$ Quindi $F(x) = \frac{K}{|x|^2}\frac{x}{|x|}$ è un campo gradiente su $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$, con primitiva $U = -\frac{K}{|x|}$ (il potenziale gravitazionale $V = \frac{K}{|x|}$, a meno del segno di $K$).

I campi radiali sono campi gradiente

Proposizione. Ogni campo radiale continuo $F(x) = g(|x|)\frac{x}{|x|}$ è un campo gradiente, e una primitiva è $G(|x|)$, dove $G' = g$.

Dimostrazione. Per la regola della catena e $\nabla|x| = \frac{x}{|x|}$: $$\nabla G(|x|) = G'(|x|)\,\nabla|x| = g(|x|)\,\frac{x}{|x|} = F(x)$$ ∎

Il metodo: scrivere il campo nella forma $g(|x|)\frac{x}{|x|}$, trovare una primitiva $G$ della funzione di una variabile $g$, sostituire $r = |x|$.

Esempio del prof. Primitiva di $F(x) = |x|^8x$ su $\mathbb{R}^3$. Per $x \ne 0$, $F(x) = |x|^9\frac{x}{|x|}$: radiale con $g(r) = r^9$, $G(r) = \frac{r^{10}}{10}$. Quindi $$U(x) = \frac{|x|^{10}}{10} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^5}{10}$$ è una primitiva su $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$. In realtà lo è su tutto $\mathbb{R}^3$: $U$ è un polinomio, e la formula $\nabla U = |x|^8x$ vale anche nell'origine (entrambi i membri sono nulli).

Esempio del prof. $F(x) = |x|^{13}x$ su $\mathbb{R}^3$: è radiale su $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ ($g(r) = r^{14}$), quindi gradiente con primitive $\frac{|x|^{15}}{15} + c$. Lo è anche su $\mathbb{R}^3$: $U = \frac{|x|^{15}}{15}$ è $C^1$ anche nell'origine (il suo gradiente $|x|^{13}x$ è continuo e vale $0$ in $0$). La primitiva che nell'origine vale $5$ è $$U(x) = \frac{|x|^{15}}{15} + 5$$

Come si riconosce se un campo non radiale è gradiente, e come se ne trova la primitiva, è in Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →.

Errori comuni

• Confondere campo vettoriale e funzione di più variabili: il campo ha $n$ componenti, la funzione una.
• Dimenticare la costante: le primitive sono $U + c$, e se il testo chiede quella con un valore assegnato in un punto, la costante va determinata.
• Riconoscere male la $g$ di un campo radiale: per $F = |x|^k x$ è $g(r) = r^{k+1}$, non $r^k$ (bisogna "fabbricare" il versore $\frac{x}{|x|}$ dividendo e moltiplicando per $|x|$).